卷十五

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴

钦定四库全书

御制数理精蕴下编卷十五

面部五

割圜【屡求勾股】

割圜

周髀曰圆出于方方出于矩矩者所谓直角即勾股也葢因方易度而圆难测方有尽而圆无尽故古人用割圜之法内?外切屡求勾股为无数多边形以切近圜界使弧线直线渐合为一而圆周始得是则推圜者以方推方者以矩矣刘宋祖冲之以圜容六边起算元赵友钦以圜容四边起算自明末西法入中国又有割圜八线六宗三要等説而圜度内外诸线相求之法始偹要之圜内六边起算者圜径折半即圜内六边之一乃用屡求勾股之法自六边而十二边自十二边而二十四边自二十四边而四十八边如是累至亿万边设径为一而周得三一四一五九二六五三有余圜内四边起算者则以圜径为内容正方之斜?自乗折半开方而得四边之一亦用屡求勾股之法自四边而八边自八边而十六边自十六边而三十二边如是累至亿万边设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有余圜外四边起算者圜径即四边之一圜径自乗倍之开方即圜外正方之斜?减去圜径即圜外两角之余又即圜外八边之一以八边之一折半为勾半径为股求得?与半径相减即股?较又即小同式形之勾乃以八边之一折半之勾为一率半径之股为二率小同式形之勾为三率推得四率为小同式形之股倍之即十六边之一如是累至亿万边设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有余圜外六边起算者圜径为?半径为勾求得股倍之即圜外三边之一取其三分之一即圜外六边之一以六边之一折半为勾半径为股求得?与半径相减即股?较又即小同式形之勾乃以六边之一折半之勾为一率半径之股为二率小同式形之勾为三率推得四率为小同式形之股倍之即十二边之一如是累至亿万边设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有余此两法者或自圜内容形之边为勾股法使无数勾股小?逼近圜周将与圜周合而为一或自圜外切形之边为勾股法使无数勾股小股逼近圜周亦将与圜周合而为一二法既立故凡圜周圜径诸法皆可以互相比例矣割圜八线则将圜周分为三百六十度先求弧度通?折半为正?既得正?而圜内之正矢圜外之正切正割由之而生至于余?余矢余切余割则又由正而得名三百六十度平分四象限每一象限九十度九十度之中得其正角为正余角为余是以正余相对而割圜八线之表以立一象限中成勾股形者五千四百故凡勾股三角测量诸法皆可以互相比例矣自圜内容形屡求勾股而得无数多边自圜外切形屡求勾股而得无数多边内外凑集则圜周渐变为直线而设圜界为度分者内而正?外而切线至于无数则圜周亦渐变为直线二者互相?考俱为相符可见理之至者先后一揆法之精者中外一理然则勾股即割圜之体而割圜即勾股之用二者交相成而两相得乎

圜内容六边起算

设如圜径二兆用内容六边起算问得圜周几何法以圜径二兆折半得一兆为圜内所容六边形之每一边乃以半径一兆为?六边之一边一兆折半得五千亿为勾求得股八千六百六十亿二千五百四十万三千七百八十四【四百四十零小余四三八六四六七六三七二三一七○七五二九三六一】与半径相减余一千三百三十九亿七千四百五十九万六千二百一十五【八三四七一小余五六一三五三二三六二七六八二九二四七○六三八】复为勾六边之一边折半之五千亿为股求得?五千一百七十六亿三千八百零九万零二百零五【一六五二九小余○四一五二四六九七七九七六七五二四八○九六六】为圜内所容十二边形之每一边如是屡求得圜内二十四边形之每一边为二千六百一十亿【五七六六四】五千二百三十八万四千【小余一○三一八三○九六八一二四五五七九○九七八○二○三八七】圜内四十八边形之每一边为一千三百零八亿零六百二十五万八千四百六十零【小余二八六一三三六三○六三一一一七五五○三五○八八二八七九】圜内九十六边形之每一边为六百五十四亿三千八百一十六万五千六百四十三【小余五五二二八四一二七三一二二八八二四一六○八六七八四三三】圜内一百九十二边形之每一边为三百二十七亿二千三百四十六万三千二百五十二【小余九七三五六三二八五九二八五六五八九九一八九八三三二一三】圜内三百八十四边形之每一边为一百六十三亿六千二百二十七万九千二百零七【小余八七四二五八五七○三九八一四六五八九五二六六七九九六四】圜内七百六十八邉形之每一边为八十一亿八千一百二十万八千零五十二【小余四六九五七九一八九二四八二一九九一○○三六二五二三三七】圜内一千五百三十六边形之每一边为四十亿九千零六十一万二千五百八十二【十三万一千七百三十二小余三二八一九○二二八八二六一一七九六】圜内三千零七十二边形之每一边为二十亿四千五百三十万七千三百六十零【八五八五一九○○三九小余六七六六○九○八二三八五九二二二九】圜内六千一百四十四边形之每一边为一十亿二千二百六十五万三千八百一十四【二一○二○七九○二九小余○二七三九五○二二○二八五九八九五】圜内一万二千二百八十八边形之毎一边为五亿一千一百三十二万六千九百二十三【八八五二二四三九一七小余七二四八三四六二八一二三二九九○三】圜内二万四千五百七十六边形之每一边为二亿五千五百六十六万三千四百六十三【一九○八八四七六七九小余九五一三○九四八○五二三四四九○一】圜内四万九千一百五十二边形之每一边为一亿【一一四一○六三一七六】二千七百八【小余二三六七六六二六一八六九四七六四六四○四九二○九九九七】圜内九万八千三百零四边形之毎一边为六千三百九十一万五千八百六十六【小余一五一○二二○七一一六○七○八○七一二六三八七○七五三】圜内一十九万六千六百零八边形之每一边为三千一百九十五万七千九百三十三【小余○七九五九○九○三一○九三八一五四一九三○六五三八○○】圜内三十九万三千二百一十六边形之毎一边为一千五百九十七万八千九百六十六【小余五四○三○五五二八八九六二四八七七九三七二三七五九六七】圜内七十八万六千四百三十二边形之每一边为七百九十八万九千四百八十三【小余二七○二一六四六五四二八○六六六八一○五六一一一一四八】圜内一百五十七万二千八百六十四边形之每一边为三百九十九万四千七百四十一【小余六二五一一七四五二九七五八六八○七○六八一一七九三三九】圜内三百一十四万五千七百二十八边形之毎一边为一百九十九万七千三百七十零【一边为六万二千四百一十七小余八一七五五九○九六六六四○五九】圜内六百二十九万一千四百五十六边形之毎一边为九十九万八千六百八十五【二五四○○二八六七九六四小余四○八七七九六七二八三九七五五】圜内一千二百五十八万二千九百一十二边形之每一边为四十九万九千三百四十二【七五七四○六一一三六一四小余七○四三八九八五一九八三三一二】圜内二千五百一十六万五千八百二十四边形之每一边为二十四万九千六百七十一【三六三九八二九九六三五五小余三五二一九四九二七九三七○八八】圜内五千零三十三万一千六百四十八边形之每一边为一十二万四千八百三十五【六一七六九八八○二六五六小余六七六○九七四六四二一一七二三】圜内一亿零六十六万三千二百九十六边【三二二五○四七○九四一八】形之毎【小余八三八○四八七三二一三六二五九○六三二○九五八七八四三】圜内二亿零一百三十二万六千五百九十二边形之每一边为三万一千二百零八【小余九一九○二四三六六○七一九二九二○四二六九一一八四○二】圜内四亿零二百六十五万三千一百八十四边形之每一边为一万五千六百零四【小余四五九五一二一八三○三六四三九四九七一○七三二○九五一】圜内八亿零五百三十万六千三百六十八边形之毎一边为七千八百零二【小余二二九七五六○九一五一八二七九一五○四八二九一五一四二】圜内一十六亿一千零六十一万二千七百三十六边形之每一边为三千九百零一【小余一一四八七八○四五七五九一四六九九六五八一四八七○一五】圜内三十二亿二千一百二十二万五千四百七十二边形之每一边为一千九百五十零【小余五五七四三九○二二八七九五七四五二九五三四四○六八七四】圜内六十四亿四千二百四十五万零九百四十四边形之每一边为九百七十五【二兆之周数小余二七八七一九五一一四三九七八七三二九三六四一】圜内一百二十八亿八千四百九十万一千八百八十八边形之每一边为四百八十七【一九九二六小余六三九三五九七五五七一九八九三六七七四九八九】圜内二百五十七亿六千九百八十万三千七百七十六边形之每一边为二百四十三【○九九○五小余八一九六七九八七七八五九九四六八三八七四九四】圜内五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边形之每一边为一百二十一【五四九五三小余九○九八三九九三八九二九九七三四一四二四七九】乃以五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边之数与其每一边一百二十一【八七九○九小余九○九八三九九三八九二九九七三四一四二四七九】之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千

【八七九○九】【小余五八六四七六五八○一三四八二二○三五五○一○八八七六八】一百七十九为圜径

圜内容四边起算

设如圜径二兆用内容四边起算问得圜周几何法以圜径二兆折半得一兆自乗得一穣倍之开方得一兆四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三【小余○九五○四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九】为圜内所容四边形之每一边乃以半径一兆为?四边之一边一兆四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三【小余○九五○四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九】折半得七千零七十一亿零六百七十八万一千一百八十六【小余五四七五二四四○○八四四三六二一○四八四九○三九二八四】为勾亦即为股【四边折半所成之勾股形其勾与股相等】与半径相减余二千九百二十八亿九千三百二十一万八千八百一十三【小余四五二四七五五九九一五五六三七八九五一五○九六○七一六】复为勾四边之一边折半之七千零七十一亿零六百七十八万一千一百八十六【三百四十三万二千三　　百六十五小余五　四七五二　四四八四四】为股求得?七千六百五十三亿六千六百八十六万四千七百三十零【三六二一四八四九三九二八四小余一七九　五四三四五六九一九】为圜内所容八边形之每一边复以半径一兆为?八边之一边折半得三千八百二十六亿八千三百四十三万二千三百六十五【九六　八六七九七七三三五二三小余八　九　七七一七二八四五九】为勾求得股九千二百三十八亿七千九百五十三万二千五百一十一【九八四三三九八八六六七六一小余二八六七五六一二八一八三一八】与半径相减余七百六十一亿二千零四十六万七千四百八十八【九三九六七八八二八六八二二小余七一三二四三八七一八一六八一】复为勾八边之一边折半之三千八百二十六亿【○六○三二一一七一三一七八】八千【小余○八九七七一七二八四五九九八四○三○三九八八六六七六一】为股求得?三千九百零一亿八千零六十四万四千零三十二【小余二五六五三五六九六五六九七三六九五四○四四四八一八五五】为圜内所容十六边形之毎一边如是屡求得圜内三十二边形之每一边为一千九百六十亿三千四百二十八万零六百五十九【小余一二一二○三九八八三九一一二七七七七二八三六九一七二二】圜内六十四边形之每一边为九百八十一亿三千五百三十四万八千六百五十四【小余八三六○二八五○九九一五○七三五四一九二一八○四五八六】圜内一百二十八边形之每一边为四百九十亿八千二百四十五万七千零四十五【小余八二四五七六○六三四七一六二一○六二○八五七五四一三二】圜内二百五十六边形之每一边为二百四十五亿四千三百零七万六千五百七十一【小余四三九八五二一五八八一七八○五二八三二二七○七一六○○】圜内五百一十二边形之每一边为一百二十二亿七千一百七十六万九千二百九十八【四十九万五千一百九十四小余三○八九五○七一九二八一一○九八】圜内一千零二十四边形之毎一边为六十一亿三千五百九十一万三千五百二十五【九七五三九一五○二八七小余九三四八一八四○○九三五六一三五】圜内二千零四十八边形之每一边为三十亿六千七百九十六万零三百七十二【六一一八八八五○三一八小余五六九五三一二二四六○七五五四四】圜内四千零九十六边形之每一边为一十五亿三千三百九十八万零六百三十七【八二五五三五七八○五四小余四八五四○九○五三八七七二一六八】圜内八千一百九十二边形之每一边为七亿六千六百九十九万零三百七十五【○六九八○五三六五二九小余一四二七九一一七八一四四九六三四】圜内一万六千三百八十四边形之毎一边为三亿【○七九一三二八八三一一】八千三百【小余六二一四○六六一四八七九八三九一四六七五四三七○三三三】圜内三万二千七百六十八边形之每一边为一亿九千一百七十四万七千五百九十八【小余一九一九五四六九一七四一○四四四三三三四一二七四三一七】圜内六万五千五百三十六边形之每一边为九千五百八十七万三千七百九十九【小余二○六一三三七六九○九八○一二九八六六八三四九五八○七】圜内一十三万一千零七十二边形之每一边为四千七百九十三万六千八百九十九【小余六一六八三六四三七四五八三七五六五七一七七一三四八二七】圜内二十六万二千一百四十四邉形之每一边为二千三百九十六万八千四百四十九【小余八一○一三九四一二八四三○四四三七四六一七五二八三三○】圜内五十二万四千二百八十八边形之毎一边为一千一百九十八万四千二百二十四【小余九○五二八四八五五六八五七六○○四九三二九五五四六八八】圜内一百零四万八千五百七十六边形之每一边为五百九十九万二千一百一十二【一边为一十八万七千二百五十三小余四五二六六九三二一五○○九】圜内二百零九万七千一百五十二边形之每一边为二百九十九万六千零五十六【○九九三八七二六○○六○六五小余二二六三三八○二二四五七七】圜内四百一十九万四千三百零四边形之毎一边为一百四十九万八千零二十八【○八七一四一二○二五三九六六小余一一三一六九四三一四四二二】圜内八百三十八万八千六百零八边形之毎一边为七十四万九千零一十四【六一○七五三四七四三二九三三小余○五六五八四七六八二四七八】圜内一千六百七十七万七千二百一十六边形之毎一边为三十七万四千五百零七【○六三七七四六五一五五○七七小余○二八二九二三九○六八九七】圜内三千三百五十五万四千四百三十二边形之【三七六六八七○六六八○○三二】每【小余五一四一四六一九六一六五五九八一四四三五○一○八二二四】圜内六千七百一十万八千八百六十四边形之每一边为九万三千六百二十六【小余七五七○七三○九八一八五三九○二三五九二四六五○三○六】圜内一亿三千四百二十一万七千七百二十八边形之毎一边为四万六千八百一十三【小余三七八五三六五四九一○五五一九○一三四三一○二四六八二】圜内二亿六千八百四十三万五千四百五十六边形之每一边为二万三千四百零六【小余六八九二六八二七四五五四三六二四九三六四九○九九七八四】圜内五亿三千六百八十七万零九百一十二边形之每一边为一万一千七百零三【小余三四四六三四一三七二七七三八一六二○一九一二四八三二一】圜内一十亿七千三百七十四万一千八百二十四边形之每一边为五千八百五十一【小余六七二三一七○六八六三八七一五八五六七六六四六一四六四】圜内二十一亿四千七百四十八万三千六百四十八边形之每一边为二千九百二十五【之数与其每一边一百八十二小余八三六一五八五三四三一九三六一】圜内四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六边形之毎一边为一千四百六十二【○五九二一七○八五三九四小余九一八○七九二六七一五九六八○】圜内八十五亿八千九百九十三万四千五百九十二边形之每一边为七百三十一【九二○九六二七七四五二九小余四九五○三九六三三五七九八四○】圜内一百七十一亿七千九百八十六万九千一百八十四边形之每一边为三百六十五【五○三一四○一六六○二七小余七二九五一九八一六七八九九二○】圜内三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八边形之毎一边为一百八十二【二五七六八四九九二八八六小余八六四七五九九○八三九四九六○】乃以三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六【一二九六○六八六○七七○】十八边【小余八六四七五九九○八三九四九六○一二九六○六八六○七七○】之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千一百七十九【小余五八六四七六八六三○八三一○六七五五○○三○二三三六○】为圜径二兆之周数

圜外切六边起算

设如圜径二兆用外切六边起算问得圜周几何法以圜径二兆为?半径一兆为勾求得股一兆七千三百二十亿五千零八十万七千五百六十八【二十六万九千一百八十九为勾小余八七七二九三五二七四四六三四】取其三分之二得一兆一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【一五○五八七二三六六九四二小余二五一五二九○一八二九七五六】即圜外六边形之毎一边【一○○三九一四九一一二九五葢圜径为?半径为勾所得股即圜外三边形之每边之一半倍之为圜外三边形之每一边其毎一边之三分之一即圜外六边形之每一边今以六边起算故省求三边止以所得之股取其】乃以六边形之每一边一兆一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【三分之二为六边形之毎一边也小余二五一五二九○一八二九七五六】折半得五千七百七十三亿五

【一○○三九一四九一一二九五】【小余六二五七六四五○九一四八七八○五○一九五七四五五六四七】千零半径一兆为股即用六边之一边为?【四千八百六十二圜内六边与半径等圜外六边亦与本形半径等故即用六】与半径相减余一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【边之一边为?也小余二五一五二九○一八二九七五六一○○三九一】即股?较又即小同式形之勾复以六边形之一边折半之勾五千七百七十三亿五千零二十六万九千一百八十九【四九一一二九五小余六二五七六四五○九一四八七八○五○一九五】为一率半径之股一兆为二率小同式形之勾一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九【七四五五六四七小余二五一五二九○一八二九七五六一○○三九一】为三率推得四率二千六百七十九亿四千九百一十九万二千四百三十一【四九一一二九五小余一二二七○六四七二五五三六五八四九四一二】为小同式形之股倍之得五千三百五十八亿【七六三三○五七】九千八百三十八万【小余二四五四一二九四五一○七百八十二万六千八百零七圜外三一】为圜外十二边形之每一边如是屡求得圜外二十四边形之毎一边为二千六百三十三亿零四百九十九万五千一百七十四【六九八八二五五二六六一一四小余七九一七○六九四三○五二九一】圜外四十八边形之每一边为一千三百一十亿八千六百九十二万五千六百三十零【四八一九四三四二○七一八四小余四七六四五七一二九○八七四四】圜外九十六边形之每一边为六百五十四亿七千三百二十二万零八百二十五【九七五九八八五五八九八四二小余九四五一七二八七八五一七八九】圜外一百九十二边形之每一边为三百二十七亿二千七百八十四万四千二百七十零【七七八六九一九二四七三一○小余六二三一六五三三○六八二一五】圜外三百八十四边形之每一边为一百六十三亿六

【七二二五九三九八八九七五六】【小余五八七七五二七四○七五○一二四一四二六二九三○五五○二】千二七百六十八边形之每一边为八十一亿八千一百二十七万六千五百零一【小余五七四七一二三四○五二八六五四七○二○六三七八四二四六】圜外一千五百三十六边形之毎一边为四十亿九千零六十二万一千一百三十八【小余四三九四八七一七七○七三八九五七六二五○九三○八六七○】圜外三千零七十二边形之毎一边为二十亿四千五百三十万八千四百三十零【小余一八九六八二三○九八七九八九二○四九四○七三○一四三八】圜外六千一百四十四边形之毎一边为一十亿二千二百六十五万三千九百四十七【小余七一六五○二九四○六○七九二三六一七○八二四○○七六八】圜外一万二千二百八十八边形之每一边为五亿一千一百三十二万六千九百四十零【小余四三五九七二三○一一六二四八九八六三九六七三七八二六二】圜外二万四千五百七十六边形之每一边为二亿五千五百六十六万三千四百六十六【三圜外一百五十七小余○四○二○一六六四○五二四五三七一九三】圜外四万九千一百五十二边形之每一边为一亿二千七百八十三万一千七百三十二【三九一五○五八二小余四九七八七七七八四○一○五六○七七四○】圜外九万八千三百零四边形之毎一边为六千三百九十一万五千八百六十六【一○四六二三四八小余一八三六六一○一一四○三三三五六四一三】圜外一十九万六千六百零八边形之每一边为三千一百九十五万七千九百三十三【七七六七八四八四小余○八三六七○七七○六三八九二五一四九七】圜外三十九万三千二百一十六边形之毎一边为一千五百九十七万八千九百六十六【五○二五一六九四小余五四○八一五四一八四三七○一○三七九二】圜外七十八万六千四百三十二边形之每一边为七百九十八

【○二九四三三二二】【小余二七○二八○二一三三五八二一○八七二五八六○四二○三○】万九千四百八十万二千八百六十四边形之每一边为三百九十九万四千七百四十一【小余六三五一二四一六九六九六五六九○二八一四八七○四五五八】圜外三百一十四万五千七百二十八边形之每一边为一百九十九万七千三百七十零【小余八一七五六○○九二七二五四六七四七四九七七六四四三五四】圜外六百二十九万一千四百五十六边形之每一边为九十九万八千六百八十五【小余四○八七七九七九七三四七三八一六○七九七四二七五二九八】圜外一千二百五十八万二千九百一十二边形之毎一边为四十九万九千三百四十二【小余七○四三八九八六七五四六七七一七八七八○九四六一二一四】圜外二千五百一十六万五千八百二十四边形之每一边为二十四万九千六百七十一【小余三五二一九四九二九八八二五二一○六八八二八八四八八六二】圜外五千零三十三万一千六百四十八边形之每一边为一十二万四千八百三十五【万小余六七六○九七四六四四五四九○二三九八八一三七二三○八】圜外一亿零六十六万三千二百九十六边形之每一边为六万二千四百一十七【二小余八三八○四八七三二一六六六五六四三五七○三三九六九七】圜外二亿零一百三十二万六千五百九十二边形之每一边为三万一千二百零八【六小余九一九○二四三六六○七五七二八八七二三八八七六五四二】圜外四亿零二百六十五万三千一百八十四边形之毎一边为一万五千六百零四【八小余四五九五一二一八三○三六九一四五一八○一一五一六○八】圜外八亿零五百三十万六千三百六十八边形之每一边为七千八百零二【○小余二二九七五六○九一五一八二三八五一九二三二八九九七一】圜外一十六亿一千零六十一万二千七百三十六边形之毎一边为三千九百零

【○】【小余一一四八七八○四五七五九一五四四一七一四四八四二五六二】一圜外三十二亿二千一百二十二五千四百七十二边形之每一边为一千九百五十零【一百二十一小余五五七四三九○二二八七九五七五三五三二六三四】圜外六十四亿四千二百四十五万零九百四十四边形之每一边为九百七十五【七○三六八小余二七八七一九五一一四三九七八七四四四七一八一】圜外一百二十八亿八千四百九十万一千八百八十八边形之毎一边为四百八十七【一六三二○小余六三九三五九七五五七一九八九三六九三三六九八】圜外二百五十七亿六千九百八十万三千七百七十六边形之每一边为二百四十三【五五八○二小余八一九六七九八七七八五九九四六八四三○六一二】圜外五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边形之每一边为一百二十一【七七六○六小余九○九八三九九三八九二九九七三四二一○七七六】乃以五百一十五亿三千九百六十万七千五百五【八二五一六】十二边之数与其每一边【小余九○九八三九九三八九二九九七三四二一○七七六八二五一六】之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千一百七十九【小余五八六四七六九三二一五四六○一七七八二八三九六○八三二】为圜径二兆之周数

圜外切四边起算

设如圜径二兆用外切四边起算问得圜周几何法以圜径二兆为外切四边形之每一边乃以圜径二兆为股亦即为勾求得?二兆八千二百八十四亿二千七百一十二万四千七百四十六【小余一九○○九七六○三三七七四四八四一九三九六一五七一三八】为圜外四边形之斜?与圜径相减余八千二百八十四亿二千七百一十二万四千七百四十六【小余一九○○九七六○三三七七四四八四一九三九六一五七一三八】即圜外八边形之每一边又以八边形之毎一边八千二百八十四亿二千七百一十二万四千七百四十六【小余一九○○九七六○三三七七四四八四一九三九六一五七一三八】折半得四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三【小余○九五○四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九】为勾半径一兆为股求得?一兆零八百二十三亿九千二百二十万零二百九十二【万四千七百五十九小余三九三九六八八九九四四六四一○七三二七】与半径相减余八百二十三亿九千二百二十万零二百九十二【七八八四○一二一小余三九三九六八八九九四四六四一○七三二七】即股?较又即小同式形之勾复以八边形之一边折半之勾四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三【七八八四○一二一小余○九五○四八八○一六八八七二四二○九六】为一率半径之股一兆为二率小同式形之勾八百二十三亿九千二百二十万零二百九十二【九八○七八五六九小余三九三九六八八九九四四六四一○七三二七】为三率推得四率一千九百八十九亿一千二百三十六万七千三百七十九【七八八四○一二一小余六五八○○六九一一五九七六二二六四四六】为小同式形之股倍之得三千九百七十八亿【七六二二八五九七】二千四百七十三【小余三一六○一三八二三一九五二四三百一十五圜外一千零五二八】为圜外十六边形之每一边如是屡求得圜外三十二边形之毎一边为一千九百六十九亿八千二百八十万六千七百一十四【九三五二四五七一九四小余三二八五○六一五四三九五○四二五八】圜外六十四边形之每一边为九百八十二亿五千三百六十九万九千五百三十八【二六五四八六四五八四小余九三四五○八二一○六八六六四二五四】圜外一百二十八边形之毎一边为四百九十亿九千七百二十四万四千二百一十七【二六二七二三四一五八小余八五○八八八二○九一五九五○七九二】圜外二百五十六边形之毎一边为二百四十五亿四千四百九十二万四千七百五十九【一八一七四四二三八四小余一三二五五○四六一七七五一○六四六】圜外五百一十二边形之毎一边为一百二十二亿七

【八五四一五九二八九○】【小余二四六八○三九二八五八八七三一二○二六二一六七○五八二】千二百万零二十四边形之毎一边为六十一亿三千五百九十四万二千四百零二【小余八四五三二九九七四一四七八三一三六四二四三四七六五八四】圜外二千零四十八边形之每一边为三十亿六千七百九十六万三千九百八十二【小余一七七三三三○五六九八五四四一六三六七○○八七四九四四】圜外四千零九十六边形之每一边为一十五亿三千三百九十八万一千零八十八【小余六八六一八五二一○三四六四一五四二三二五五八四七五三八】圜外八千一百九十二边形之每一边为七亿六千六百九十九万零四百三十一【小余五四二八八一九七六六九一四六八三六八一五四四三九三二○】圜外一万六千三百八十四边形之毎一边为三亿八千三百四十九万五千二百零一【小余六七一四一七七七○二九一五五五一二一七二六一八二一一○】圜外三万二千七百六十八边形之每一边为一亿九千一百七十四万七千五百九十九【百零九万七千小余○七三二○六○八○○九二二九六○九三一四五】圜外六万五千五百三十六边形之毎一边为九千五百八十七万三千七百九十九【一四六一○六小余三一六二九○一九二四五二○六五五二六二○七】圜外一十三万一千零七十二边形之每一边为四千七百九十三万六千八百九十九【六一九八五八小余六三○六○五九九○三七一六九七五二九八八九】圜外二十六万二千一百四十四边形之每一边为二千三百九十六万八千四百四十九【四六二九四四小余八一一八六○六○六九五七○二三二六九五八九】圜外五十二万四千二百八十八边形之每一边为一千一百九十八万四千二百二十四【三○一三二○小余九○五五○○○○四九五○○○一一四八一五○】圜外一百零四万八千五百七十六边形之每一边为五百九十九万二

【○二三三六六】【小余四五二六九六二一五一五八九三九六六○一二八○二○一五四】千一百一十二圜外二一百五十二边形之毎一边为二百九十九万六千零五十六【千六百二十六小余二二六三四一三八四一六四九六二三○六三四八】圜外四百一十九万四千三百零四边形之每一边为一百四十九万八千零二十八【二四八二二○小余一一三一六九八五一六五五六六七七一五五三八】圜外八百三十八万八千六百零八边形之每一边为七十四万九千零一十四【六四一七五四小余○五六五八四八二○七七四四八二一七八一五三】圜外一千六百七十七万七千二百一十六边形之每一边为三十七万四千五百零七【二九一四五二小余○二八二九二三九七二五五五七二一二九一二七】圜外三千三百五十五万四千四百三十二边形之毎一边为一十八万七千二百五十三【四○四七三○小余五一四一四六一九六九八六三二七四四四五七○】圜外六千七百一十万八千八百六十四边【一三三五七四】形之每一边为九万三【小余七五七○七三○九八二八七九八一三九四七八五八七三三八六】圜外一亿三千四百二十一万七千七百二十八边形之毎一边为四万六千八百一十三【小余三七八五三六五四九一一八三五二九○六四五五五三七六○二】圜外二亿六千八百四十三万五千四百五十六边形之毎一边为二万三千四百零六【小余六八九二六八二七四五五五九六五四七九三六○五九三九一六】圜外五亿三千六百八十七万零九百一十二边形之每一边为一万一千七百零三【小余三四四六三四一三七二七七五八一九九二九四六九○○○九六】圜外一十亿七千三百七十四万一千八百二十四边形之毎一边为五千八百五十一【小余六七二三一七○六八六三八七四○九○三一三一七七五四四○】圜外二十一亿四千七百四十八万三千六百四十八边形之每一边为二千九百二十五【小余八三六一五八五三四三一九三六四一八九八九八一七八三九四】圜外四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六边形之毎一边为一千四百六十二【七千一百七十九小余九一八○七九二六七一五九六八一三九八三六】圜外八十五亿八千九百九十三万四千五百九十二边形之每一边为七百三十一【九八五○二五二小余四五九○三九六三三五七九八四○六○一三四】圜外一百七十一亿七千九百八十六万九千一百八十四边形之每一边为三百六十五【六三六七一六六小余七二九五一九八一六七八九九二○二八八四四】圜外三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八边形之每一边为一百八十二【三三六三八三八小余八六四七五九九○八三九四九六○一四二六九】乃以三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八边之数与其每一边一百八十二【二九五四四五○小余八六四七五九九○八三九四九六○一四二六九】之数相乗得六兆二千八百三十一【二九五四四五○】亿八千五百三十万【小余五八六四七七三一二七一七八六一八五八九四一三三七六○○】为圜径二兆之周数

御制数理精蕴下编卷十五