朱熹学派被称为闽学。它在南宋福建地区的流传与影响仅是一个雏形，但反映出理学在全国及后世的影响。元、明以后，作为体系最广、影响最大的正宗思想，它统治了思想界数百年，直至二十世纪初期。
朱熹当时的门人大都能恪遵师训。蔡元定与蔡沈及其著作《皇极经世指要》与《书经集传》，在学术史和社会史上都有一定的影响。全祖望在《宋元学案·九峰学案》中说：“蔡氏父子，皆为朱学干城。”现将二蔡学术思想，结合朱学的流传，论述如下。
第一节 蔡元定的《皇极经世指要》和《律吕新书》
蔡元定（公元1135—1198年）字季通，福建建阳人，是朱熹最亲密接近的朋友和学生。二人年龄相差五岁，朱熹初次与蔡见面论学时，便说“此吾老友也，不当在弟子之列”（《宋史·蔡元定传》） 。其后数十年从学朱熹，直至宁宗庆元二年（公元1196年）因伪学党禁，以布衣编管湖南道州，还与朱熹书信往还。庆元四年殁于道州。
蔡元定和朱熹都是所谓伪学的主要代表人物。蔡赴道州时，朱熹及从游者送别，尚与蔡元定共同讨论一部道教的名著《参同契》。蔡临行时态度不异平时，而送行者座中有流涕者。朱熹说：“友朋相爱之情，季通不挫之志，可谓两得之矣”（同上） 。蔡死后，朱熹的祭文中说：
呜呼季通，而至此耶。精诣之识，卓绝之才，不可屈之志，不可穷之辩，不复可得而见矣。（《朱文公文集》卷八十七《又祭蔡季通文》）
这里反映出作为理学家的朱熹对学生的最高要求，而蔡元定是达到了。这种坚持自己的学术见解，不屈服于压力，所谓“不降其志，不辱其身”（《论语·微子》） ，这在理学传统中有其可取之处。当然这在大部分假道学中是办不到的。一些宋末明末的理学家为“夷夏之防”不惜牺牲自己的生命，不能说不与这传统有关联。
朱熹在《与刘孟容书》中又说：
交游四十年，于学无所不讲，所赖以祛蒙蔽者为多。不谓晚年乃以无状之迹，株连及祸，遂至于此。闻之痛怛，不知涕泗之流落也。（引自《蔡氏九儒书》卷二）
除了师徒的感情以外，这里应注意的是，蔡元定对朱熹学术所起的辅助作用。蔡元定的学生翁易（字粹翁，福建崇安人）在宋理宗淳祐七年（公元1247年）记载：
晦菴（指朱熹）疏释“四书”，因先生（指蔡元定）论辩有所启发者非一。……六经、《语》《孟》《学》《庸》之书，先生与之讨论讲贯则并驰其功焉。《易学启蒙》一书，先生研精覃思，屡年而后就，晦菴复删润之，始克成书。（同上卷首《蔡氏诸儒行实》）
可见朱熹的《四书集注》和后代《性理大全》与《性理精义》中收入的那部著名的《易学启蒙》，是蔡元定参与草定的。
朱熹在《答蔡季通书》中曾谈到，“《启蒙》修了未？早欲得之”（《朱文公文集》卷四十四） 。便足为佐证。又说，“季通平生著述多谦让，寄寓于熹书集中”（引自翁易《蔡氏诸儒行实》） ，也说明二人合作的亲密无间。
关于蔡元定本人的学术倾向，可以从以下材料得到说明：
牧堂老人（指蔡元定之父蔡发）以程氏《语录》、邵氏《经世》、张氏《正蒙》授先生曰：此孔孟正脉也。先生（蔡元定）深涵其义。（《宋元学案·西山蔡氏学案》）
把程、邵两个途径不同的著作合在一起，同时再加上张载，都称为“孔孟正脉”。尽管这种说法不完全正确，但可反映出蔡元定的学术兼有义理和象数学两个方面。这是和朱熹一致的。
蔡本人著作很多。著名的有《皇极经世指要》和《律吕新书》。
《皇极经世指要》一书，宋末的黄瑞节说：
西山（即蔡元定，号西山）先生始终以《易》疏其说，于是微显阐幽，其说大著。学者由蔡氏而知《经世》，由《经世》而知《易》，默而通之可也。（引自明嘉兴徐必达编《邵子全书》卷二十四附录）
清代著名的《易》学家王植说：
《纂图指要》（指《皇极经世指要》的第一部分）所疏最为醒畅，较邵伯子 [1] 之说更优。故各图说一以西山为主。（《皇极经世全书解·例言》）
按《纂图指要》是《皇极经世指要》的前半部，大部解释邵雍的各种图像。明初《性理大全》的编者说：
西山蔡氏著为《经世指要》一书足以尽乎五十篇之义（指邵雍《皇极经世书》六十四篇中除《观物内外篇》共十四篇以外，为五十篇），而晦菴朱子谓其于康节之书，推究缜密矣。故今不复具载康节全书，但取蔡氏《指要》诸图，列于内外十四篇之首。（引自《皇极经世全书解》卷首《总论》）
可见蔡元定的《皇极经世指要》是一部对邵雍学术的全面而又明晰的概括。他的学术方向是遵循朱熹的主张，不像二程那样置象数学于不顾。
蔡元定的另一部著作《律吕新书》不但是中国音乐史上的名著，也是反映出蔡氏学术倾向的著作。
中国古代音乐中的十二律，是指十二个音调。其高低的比例是以一个音调为基数，先用三分减一的方法（即以基数乘 ），产生第二音调，然后再用三分益一的方法（即以第二音调乘 ）产生第三音调，以后迭次用 、 ……相乘，得出十二个音调的数字。这些数字便是十二个音调的音高之间的比例。这种计算方法叫三分损益法。
蔡元定的《律吕新书》也是用这方法来排定十二律的。同时他以象数学家的本色把十二天干配合上十二律，把一年中的十二个月也加以配合。
现根据蔡书中《黄钟生十一律第三》（黄钟本身为一律，再派生出十一律，共为十二律）及《八十四声图第八》综合列表如下：
时辰 律名 月份 比例
1. 子 黄钟 十一月 一分
2. 丑 林钟 六月 三分二
3. 寅 太簇 正月 九分八
4. 卯 南吕 八月 二十七分十六
5. 辰 姑洗 三月 八十一分六十四
6. 巳 应钟 十月 二百四十三分一百二十八
7. 午 蕤宾 五月 七百二十九分五百一十二
8. 未 大吕 十二月 二千一百八十七分一千二十四
9. 申 夷则 七月 六千五百六十一分四千九十六
10. 酉 夹钟 二月 一万九千六百八十三分八千一百九十二
11. 戌 无射 九月 五万九千四十九分三万二千七百六十八
12. 亥 仲吕 四月 一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六
上表1、3、5、7、9、11，也就是子、寅、辰、午、申、戌六个时辰称为阳辰，2、4、6、8、10、12，即丑、卯、巳、未、酉、亥六个时辰为阴辰。而单数的六个律即黄钟、太簇、姑洗……是阳律，双数的六个律即林钟、南吕、应钟……是阴律。阳律又称为律，阴律又称为吕。六个阳律称六律，六个阴律称六吕（或称六同）。阳律都是三分减一下生阴律，如黄钟是1，林钟便是1× 。阴律都是三分益一上生阳律，如林钟是 ，太簇便是 。这样一直推到第十二律仲吕是 ，便形成了各个律、吕的比例。
然而这里产生一个问题，即第8、10、12三个阴律大吕、夹钟、仲吕，都是清音，在审音的时候音调高了一倍，要用加长乐管一倍的方法来调协。所以第七个律阳律蕤宾生第八个律阴律大吕时，按照阳律生阴律是三分减一下生的规则，本应以蕤宾之数乘 ，现在为了加长乐管以降低音调，就要把蕤宾乘 再加倍，成为算式如下：
从而可见，作为阳律的蕤宾生阴律大吕时，由下生改为上生。
同样情况，第九个律阳律夷则从下生改为上生产生第十个律阴律夹钟，第十一个律阳律无射也是由下生改为上生产生第十二个律阴律仲吕。
把十二律中大吕、夹钟、仲吕三个阴律本应由下生即三分损一而推算出来的，改为上生由三分益一而推算出，这是为了协调音调而采取的较为合适较为科学的方法。蔡元定的这种演算方法溯源于汉代，说明中国在十二世纪时尽管讲论封建伦理道德的理学思想弥漫，但理学家之中仍然有优秀人才具有科学的头脑，采用科学的方法，这是值得提出的。
然而蔡元定的推算是在神秘的外衣的包裹下提出的。他说：
黄钟生十一律，子、寅、辰、午、申、戌，六阳辰，皆下生。丑、卯、巳、未、酉、亥，六阴辰，皆上生。其上以三，历十三辰者，皆黄钟之全数。其下阴数以倍者（原注：即算法倍其实）三分本律而损其一也。阳数以四者（原注：即算法四其实）三分本律而增其一也。六阳辰当位自得。六阴辰则居其冲，其林钟、南吕、应钟三吕在阳则用倍数方与十二月之气相应，盖阴之从阳，自然之理也。（《律吕新书·黄钟生十一律第三》）
关于十二律与一年的十二个月相比附，早见于《史记·律书》与《汉书·律历志》。这一思想更早可溯源于《吕氏春秋》所综合的战国时期的音乐理论。至于蔡元定的“阴之从阳，自然之理也”之类迷信的语言在上述书中也屡见不鲜。《史记·律书》说：“律历，天所以通五行八正之气，天所以成熟万物也。”《汉书·律历志》说：“阳六为律，阴六为吕，律以统气类物，吕以旅阳宣气。”
所谓“统气类物”“旅阳宣气”这些字的具体意义是很难捉摸的。这就为后来的所谓术数家开辟了为了某种目的，随意发挥的途径。
蔡元定在乐律方面还有一个创造，就是在十二律之间加了六个变律，称为变黄钟、变林钟、变太簇、变南吕、变姑洗、变应钟。这六个变律的插入，可以使从每一个律开始“旋相为宫”时，在计算音程方面更加便利。用蔡元定自己的话说就是“然后洪纤高下，不相杂伦”（《律吕新书·变律第五》） 。值得注意的是，蔡元定的六个变律与汉代京房六十律中第13到18律（所谓13执始，14去灭，15时息，16结躬，17变虞，18迟内）的数值完全相同。因为它们都是从第十二个律仲吕起用三分损益法继续推算而成的。从而可以看出象数学家不但在《易》卦上而且在律吕的范围内也是先后继承的痕迹。
这里主要不是叙述音乐的历史，而是试图说明蔡元定的音乐理论与京房六十律的关系。而京房的六十律与《淮南子》六十音当辰又有关联。此外，京房又说：“夫十二律之变至于六十，犹八卦之变至于六十四卦也”（《后汉书·律历志上》） 。可谓极尽牵强附会之能事。然而这些思想也在蔡元定书中可以找出印迹来。蔡元定说：
黄钟独为声气之元。虽十二律八十四声皆黄钟所生。然黄钟一均所谓纯粹中之纯粹者也。（《律吕新书·84声图第八》）
京房、《淮南子》《吕氏春秋》，这些人及著作，或是具有道家色彩，或是与道家有瓜葛，而都与蔡元定的《律吕新书》有思想理论上的沟通。这可以看出蔡元定学术上的道家倾向，而这些倾向似乎也是被那位空同道士邹䜣所同意的。
第二节 蔡沈的《书集传》
蔡沈（公元1167—1230年）字仲默，号九峰，是蔡元定的第三子。元定的次子蔡沆出继表兄虞氏，所以蔡沈仍以仲字排行。
元定谪道州时，长兄蔡渊在家奉母。蔡沈随父去道州。元定死后，沈护丧以还。
真德秀是福建浦城人，不及见到朱熹及蔡元定，而是蔡沈的友人。他在《九峰先生墓表》中记载：
初伪学之兴，文公以党魁黜，聘君（指蔡元定）亦远谪舂陵（指道州），君徒步数千里以从。九嶷之麓，最楚粤穷僻处，山川风物，悲凉惨怆，居者率不能堪。君父子相对，以礼义相怡悦。（《真文忠公文集》卷四十二）
这一段记载为后来《宋史》的蔡元定、蔡沈传所本。
蔡沈的主要著作是《书集传》与《洪范皇极》二书，分别反映了其师朱熹与其父蔡元定的学术思想。
《书集传》六卷，是一部数百年来在封建文化学术界有很大影响的著作。这书是朱熹临殁前一年委托蔡沈写作的，朱熹死后，又十年才完成。
元仁宗皇庆时，蔡沈此书与朱熹的《周易本义》《诗集传》，胡安国的《春秋传》等并列为官书，为科举所依据。此书遂成为元、明、清三代士人的必读课本。
这书的写作是在朱熹原有的一部分书说基础上完成的，其特点是：
不偏重于汉、唐以来的烦琐考据方法，以浅近简明的文字注释了《书经》。
纠正了不少前人的误解，发表了不少个人的独出新义，并且十分精确。
由于《书集传》列为官书，因而不为精研考据的汉学家所重视。
清儒陈澧曾说：
近儒说《尚书》，考索古籍，罕有道及蔡仲默《集传》者矣。然伪《孔传》不通处，《蔡传》易之，甚有精当者。（《东塾读书记》卷五《尚书》）
例如《大诰》：“若兄考乃有友伐厥子民养其劝弗救。”伪《孔传》云：“以子恶故”。孔疏云：“民皆养其劝伐之心不救之。”
陈澧对孔传和孔疏的评论是：“此甚不通。”
而蔡传说：“苏氏（指苏轼）云：养，厮养也，谓人之臣仆。言若父兄有友攻伐其子，为之臣仆者其可劝其攻伐而不救乎。”
尽管苏轼在朱熹的评论中看来，其人品与能力还不及王安石，但蔡沈还是择善而从，采用了苏轼的意见。
《召诰》：“王敬作所不可不敬德。”伪孔云：“敬为所不可不敬之德”，很是牵强。蔡传云：“所，处所也。犹所其无逸之所。王能以敬为所，则无往而不居敬矣。”
这种说明清晰而且有证据，容易理解，并使人信服。
所以陈澧说：“此皆蔡传精当者。”
然而，除了解释字句外，从思想背景来说，更应注意的是其政治目的。蔡传的理论主要是讲二帝三王，是为封建政治和封建文化服务的。朱熹在嘱蔡沈整理《书经》的信中说：
年来病势交攻，困悴日苦。……看此气象是不久于人世者。……最是《书说》未有分付处，因思向日喻及《尚书》，文义通贯犹是第二义，直须见得二帝三王之心，而通其所可通，毋强通其所难通……千万更拨置来此议定纲领，早与下手为佳。（引自《蔡氏九儒书》卷六）
按信的内容，盖系朱熹生前最后一年所作。信中所谈“直须见得二帝三王之心”，是朱熹传授的宗旨。程颢说《中庸》一书是“孔门传授之心法”，而朱熹在《中庸章句》序中把十六字心传视为尧舜禹汤相传的叮咛嘱咐。蔡沈是紧紧地继承这一理学传统的。他在其书的序言中说：
然二帝三王之治本于道，二帝三王之道本于心。得其心则道与治国可得而言矣。何者？精一执中，尧舜禹相传之心法也，建中建极，商汤周武相传之心法也。曰德曰仁曰敬曰诚，言虽殊而理则一，无非所以明此心之妙也。
所谓心法，文中说就是德、仁、敬、诚。质言之，就是封建社会的三纲五常。
现举一例，它既考证了文义，而又最终返归到伦理纲常。
《书·洛诰》的第一句“周公拜手稽首曰：朕复子明辟。”蔡沈认为此上有阙文，应把《康诰》的第一段“唯三月哉生魄，周公初基，作新大邑于东洛国”到“乃洪大诰制”等四十八字移为《洛诰》的首段。这也是根据苏轼的见解。
关键在于《洛诰》中“联复子明辟”一句的意义。传统的讲法是因武王死后成王年幼，周公代王为辟，到这时还政成王，所以说“复子明辟”。而蔡沈说：
复，如逆复之复，成王命周公往营成周，周公得卜，复命于王也。
至于为什么“复辟”不指归还王位？蔡沈说：
武王崩，成王立，未尝一日不居君位，何复之有哉？（《书集传》卷五《洛诰》）
至于为什么说先儒复辟说是错误的，又引起了什么后果，蔡沈说：
王莽居摄，几倾汉鼎，皆儒者有以启之，是不可以不辨。（同上）
蔡沈还没有达到指出“儒者”就是刘歆，而刘用周公居摄称王来为王莽篡位制造理论根据的地步。但是，不言而喻，蔡沈维护纲常、坚持正统的态度反映了理学家的本色。所以黄震对蔡沈这一段意见评论说：“此说不独考正文义，其有功于天下后世大矣”（引自《宋元学案补遗》卷六十七《九峰学案补遗》 ）。
皇位问题是一个重要问题，牵涉到封建宗法制度的存亡继绝问题，这就是蔡沈作为程朱正统理学的忠实继承者为什么在这个问题上大为考证，大做文章的原因所在。
由于蔡沈《书集传》适应了当时社会的需要，它被政府定为科举功令的必读书不是偶然的。六七百年来，它与《四书集注》并列，对社会文化思想起一定的影响，也不是偶然的。它是中国封建社会后期经济和政治条件下的产物。
蔡沈对《书经》的解释又有一定的独立见解，不是亦步亦趋地遵循师说。晚清的山阳丁晏曾著《蔡传附释》，举了一些例说明蔡沈与朱熹的不同。如《舜典》“而难任人”一句，元代邹季友引《朱子语类》云：“难平声，任如字，言不可轻易任用人也”（邹季友《书传音释》卷一） 。而蔡沈说：“难，拒绝也。任，古文作壬，包藏凶恶之人也”（《书集传·舜典》“而难任人”条） 。这里朱熹解“难”为不易，蔡沈解“难”为拒绝；朱熹解“任”为任用，蔡沈解“任”为凶恶。蔡沈是根据自己的认识来疏释的，而且于义为长。
又如《益稷》“明庶以功”一句，邹季友引《朱子语类》云：“此试字之误。《左传》赵衰引《夏书》‘赋纳以言，明试以功’，正作试字”（《书集传·益稷》） 。但蔡沈没有按照其师说，没有把“庶”字改成“试”字，而是把这句简单明了地解为“明其众庶也”（《书集传·益稷》） 。
元代陈栎著《尚书集传纂疏》六卷，又曾著《书说折衷》。《书说折衷》一书后已散佚，但书序还保存在他的《定宇集》中。他在《纂疏》中就曾提出蔡沈“宗师说者固多，异之者亦不少”（《四库全书总目提要》卷十二） 。陈栎认为这是蔡沈的一个缺点，我们看来却是一个不诡随盲从的长处。
但我们要注意，所谓“与师异”是仅在于某些文字的词义上，而不在于天理、道统等理学关键问题上。在后者，蔡沈与其师是完全沆瀣一气的。
关于蔡书的缺点。我们知道，朱熹的治学方法是谨严的。然而他的持敬、致知等工夫主要是为了个人的修养。他说：“书虽是古人书，今日读之所以蓄自家之德，却不是欲这边读得些子，便搬出做那边用”（《朱子语类》卷一二〇） 。所以训诂考证对朱熹来说是次要的。他又说：“《尚书》中《盘庚》、五诰之类，实是难晓。若要添减字，硬说将去，尽得。然只是穿凿，终恐无益耳”（同上卷七十八） 。这些都是知之为知之，不知为不知的正确态度。而蔡沈注《书经》，则是每个疑点都要求加以解决。《四库全书总目提要》的编者批评他“于殷盘周诰，一一必求其解，其不能无憾也固宜”（卷十一） 。
此外，蔡传固然盛极一时，通行数百年，然而历代也都有指摘其瑕疵的。如宋末王柏的《书疑》，宋末元初许谦的《读书丛说》，张葆舒的《尚书蔡传订误》，黄景昌的《尚书蔡传正误》，程直方的《蔡传辨疑》，余苞舒的《读蔡传疑》，等等。而元仁宗延祐二年（公元1315年）议复贡举，定《尚书》依蔡沈注释以后，上述诸家，大都不传了。
明代袁仁著《尚书砭蔡编》（清曹溶辑《学海类编》收入此书，改名《尚书蔡注考误》），清代左眉有《蔡传正讹》。袁仁所提出蔡传的缺点如“粤若、越若，前后异训，三百有六旬有六日乃宋历非古历”等多条，《四库全书总目提要》认为“皆确有所据”。按《尚书·尧典》第一句：“粤若稽古”，蔡沈释为：“曰、粤、越通，古文作粤。曰若发语辞。《周书》越若来三月亦此例也”（《书集传》卷一《尧典》） 。在《周书·召诰》的“曰若来三月”，蔡沈又说：“越若来，古语辞，言召公于丰迤逦而来也”（《书集传》卷五《召诰》） 。于是《砭蔡编》说：“曰若发语辞，引《周书》越若来为例，及训《召诰》则曰‘曰若来者迤逦而来也’，何其相悖邪。”事实上这问题在元代董鼎的《书传辑录纂注》以及邹季友的《书传音释》中都早已发现和指出。《书传音释》说：“《朱子语录》载刘谏议（指刘安世，字元城，北宋人）云，越若发语辞，来三月犹言明三月也。”来字究竟是如蔡沈解为到来的来，还是如刘安世解来三月就是明年三月。这问题似乎还可以讨论。然而蔡沈在《尧典》与《召诰》两个地方，同一词语“前后异训”终是无可辩解的。
对蔡沈来说，这是枝节问题，不足为全书病。《汉书·艺文志》载秦恭字延卿，注“粤若稽古”用了二三万言。这是汉儒的学风，为宋儒所不取。因为它不联系到义理和政治的原则问题。而宋代理学家是联系政治、联系社会、联系三纲五常的理来治学和讲学的。所以他们把训诂放在第二位而且有忽略的地方。
至于用宋代的历法来讲古历显然是一个疵病。关于天文、地理、名物制度方面的知识也不是理学家主要的关切所在。
理学家的着重点是圣圣相传的心法，修齐、治平的道理。在这一点上，蔡沈继承了他老师的衣钵，没有辜负委托。所以说从历史的角度，把它作为封建时代统治阶级文化的结晶之一来看，蔡沈的书出色地完成了它的历史使命。
第三节 蔡沈的《洪范皇极》
《洪范》是《书经》中的一篇。《洪范》中有“皇建其有极”一句话。《洪范皇极》书名的来源大致如是。这部分在内容、形式以至风格上与《书集传》迥然不同。
《书集传》像朱熹的《四书集注》一样，用简明的文字诠释经典，阐发义理，而《洪范皇极》则像蔡元定的《皇极经世指要》阐述阴阳刚柔一样，通过八十一个范畴论述天地、阴阳、理气、体用、动静，以至接触到自然界动物植物等问题。总之，《书集传》是一部理学正统派主要讲义理的著作，《洪范皇极》是一部理学象数学派主要讲自然现象的著作。
真德秀在《九峰先生墓表》中说：“洪范之数久失其传。聘君（指蔡元定）独心得之，然未及论著，曰：成吾书者沈也”（《真文忠公文集》卷四十二） 。
所谓“洪范之数”是什么？这是象数学家一个辗转的附会。《易·系辞》说：“天地变化，圣人效之。天垂象见吉凶，圣人象之。河出图，洛出书，圣人则之。”扬雄在《覈灵赋》中说：“大易之始，河序龙马，洛贡龟书”（扬雄《覈灵赋》已佚，此从《文选》李注辑出）。这就开启了后世认为河图是龙马口衔，洛书是神龟背负的传说。与扬雄同时的刘歆说：“虙牺氏继天而王，受河图则而画之，八卦是也。禹治洪水，锡洛书，法而陈之，《洪范》是也”（《汉书·五行志》） 。
这又提出了八卦来源于河图，河图创造自虙牺，而《洪范》来源于洛书，洛书是天授禹的传说。
河图、洛书两个宝物到底是什么形象？
宋代象数学家通过一些古典中的传统，把河图、洛书分别定为1到10十个数字与1到9九个数字排成的两个数阵。
河图的排列方法是：
洛书的排列方法是：
据刘歆说，河图是产生八卦的，这就是邵雍的六十四卦横图与先天圆图与先天方图产生的依据。洛书产生《洪范》，应该也有一系列象数图作为《洪范》的衍生物。蔡氏父子的洪范九畴数便应运而生了。
《洪范》中有九个纲领，称为九畴。其内容为：“初一曰五行，次二曰敬用五事，次三曰农用八政，次四曰协用五纪，次五曰建用皇极，次六曰乂用三德，次七曰明用稽疑，次八曰念用庶征，次九曰向用五福，威用六极。”九畴中的五行、五事、八政、五纪、三德、五福、六极，又各有其具体内容。如五行是水火木金土，五事是貌言视听思等。这些原是古代人对自然界及社会现象和规律的朴素的总概括。朱熹答学生问《洪范》诸事时说：“此是个大纲目，天下之事其大者大概备于此矣”（《朱子语类》卷七十九） 。而这些在象数学的模胚中，九畴又被冶铸成带有“数”的色彩的新产品——洪范九畴数。
由于有了数目字，于是，按照象数学的传统，洪范九畴数被比附于一年四季的时令，自然界和动物植物，人类的身体和器官，社会上的衣食住行、婚姻、祭祀、宴享、田猎以及军旅、工役、交易……各种现象，总之包括自然现象和人类精神与物质文明的各个方面。这反映出在一定时期博物与分类学的成就与水平。
然而，洪范只有九个畴，要赅括庞大的多种现象是困难的。于是根据需要，把九畴发展为九九八十一个畴数。九畴扩展为八十一畴，与八卦发展为六十四卦是同一道理。八十一畴构成了《洪范皇极》的基本体系。如果说，在宋代以前还没有人提供出八十一个洪范九畴数，那么蔡氏父子当是这一体系的创始者。尽管他们与前人一样，依托的是神话传说中的大禹。黄瑞节说：“《易》更四圣而象已著，《范》锡神禹而数不传。九峰蔡氏撰《皇极内篇数》为一书，于是有范数图，有八十一章六千五百六十一变。西山真氏云：蔡氏范数与三圣之易同功者是也”（引自清康熙刘世衢《洪范皇极补》蔡沈原序后附载） 。黄氏之言，合于史实。
这里应当注意朱熹对洪范畴数原于洛书，而洛书图形又是那九个数字的数阵的意见和态度。朱熹说：“河图出而八卦画，洛书呈而九畴叙，而孔子于斯文之兴衰未尝不推之于天。圣人于此其不我欺也”（《朱文公文集》卷七十八《江州重建濂溪先生书堂记》） 。朱熹的《周易本义》书首的九个图中，以河图、洛书为冠，这都说明他不但笃信天命，并且对蔡氏的范数是完全赞同的。这是研究朱熹及其学派的学术倾向的重要线索。他既继承了二程正统，以天理人伦为理学的主要内容，又不像二程那样排斥象数，而是把象数纳入理学的范围以内。这些将在下文详细论及。
《洪范皇极》一书的具体内容如何？书首是一幅洛书的数阵，但不称洛书而称为《洪范皇极图》。
把九畴衍化为八十一数，用方数图、圆数图、行数图等形式来表示。现将九九方数图转列如下：
把一、一到一、九排为一行，一直到把九、一到九、九排为第九行，八十一个数形成一个方阵。
九九圆数图则是把一、一到九、九的八十一个数序排成一个圆圈。（在清初刘世衢《洪范皇极补》一书中，圆圈的中心还有一个卍字符号，可理解为表示一、一到九、九，循环周流之意。《性理大全》所载此圆图似也有卍字。）
九九行数图则是把一、一到九、九的八十一数序排列成一长行。
很明显，九九方数图、九九圆数图、九九行数图，与邵雍的先天方图、先天圆图、先天横图在排列方法上是相同的，可以互相对照。所不同的是，邵雍用六十四个《易》卦来排列，而蔡沈是用八十一个畴数来排列，数列上多出一层而已。
还有一个九九积数图则是以1到9九个数字分别用9来相乘三遍的积数排成的图表，如下：
（原图为中文数字从右至左，今改为阿拉伯数字从上至下）
把九九八十一个数字配合时令，一、一为冬至，二、二为立春，三、三为春分，四、四为立夏，五、五为夏至，六、六为立秋，七、七为秋分，八、八为立冬，九、九又为冬至。然后周而复始，二、二又是立春。
蔡沈书中是用阴阳消长来解释一岁的气候变化过程的。他说：“一数之周，一岁之运也。九数之重，八节之分也。一、一，阳之始也。五、五，阴之萌也。三、三，阳之中也。七、七，阴之中也。二、二者阳之长。四、四者阳之壮，五则阳极矣。六、六者阴之长，八、八者阴之壮，九则阴极矣。一九首尾为一者，一岁首尾于冬至也。盖冬至二卦而余则一也”（《洪范皇极·内篇下》） 。
蔡沈认为“一者数之原也，九者数之究也”（同上） 。所以他把一切事物归结为九的数字。他说：“分天为九野，别地为九州，制人为九行。九品任官，九井均田，九族睦俗，九礼辨分，九变成乐，八阵制兵，九刑禁奸，九寸为律，九分造历，九筮稽疑，九章命算……”（同上） 。这些归纳似都是为了九这个数而拼凑起来，有些还是很牵强的。其实在中国历史上用其他数字如3、5、7等也可罗列一系列名物出来，也是常见的。
蔡沈的九分法中，“八阵制兵”显然是生硬不一致的例外。他没有把九军来代替八阵。
此外，还有两点值得注意。仿照蔡沈的这种分法，还可以提出江分九派，宫有九门，地有九泉，天有九重，姓有九宗，官有九牧，学术有九流……不一而足。由此可见，蔡沈的“以九为究”也仅是约略举例，难概其全的。这是一。其次，关于“九筮稽疑”，稽疑两字取自《洪范》，是考察疑点，用卜筮来解决之意。这里“九筮”也仅仅只适用于蔡沈所制的洪范数。因为从《易经》开始，到扬雄的《太玄》，北魏关朗的《洞极》，北周魏元嵩的《元包》和司马光的《潜虚》，都有筮法。他们各有一套数字，都不是用九，足以说明这一点。
《洪范皇极》今存本分内、外篇，外篇都是论81数的，每数都有一个名称，如一、一称原，一、二称潜，一、三称守，一、四称信……一直到九、八称堕，九、九称终。
《洪范数》中一到九的数字用 来表示，这与《潜虚》中所用符号相同。只有五这个数字《潜虚》作×，蔡沈作 ，微有不同。其余悉与司马光《潜虚》筮法中所用符号相同。当然也可能这些数码都是宋代通用，而两人都采取使用了。这种数码，源于筹策。
《外篇》所谓释数，就是把九九八十一个范畴（即原、潜、守、信、直、蒙、闲……一直到胜、囚、壬、固、移、堕、终八十一个畴），用模仿《易经》的筮法，进行占卜。《易经》的方法是“分二挂一，揲之以四”（《易·系辞上》） 。《洪范数》的方法则是分二挂一，揲之以三。这样得出的结果是：“八揲而六千五百六十一之数备矣，分合变化，如环无端，天命人事，由是较焉，吉凶祸福，由是彰焉”（《洪范皇极·内篇下》） 。由此而得出的九种征兆称为：吉、咎、祥、吝、平、悔、灾、休、凶。
洪范八十一个畴每畴下都系有一句话，如第一畴“原”，畴下系有“原，元吉；几，君子有庆。”从语气及形式看，可知是模仿《易经》的卦辞。“原”畴之下还有数曰：“原，诚之原也。几，继之善也。君子见几，有终庆也。”清初潘士权《洪范注补》此下又有理曰：“始终维一，原，君子以刚健纯粹，与天合德。”而潘士权在书首的按语中说：“按蔡氏《范》内无理曰，自‘原’畴以下数曰并缺。”如此则知“理曰”“数曰”是潘补的。与潘同时的刘世衢《洪范皇极补》则改理曰为“畴曰”，内容也是刘自撰的。
由上可见，这些理曰、畴曰都不是蔡沈原著而为后人增补。天台谢无懋（此人待考，疑是元人）在蔡书序中早就说蔡沈“享数弗遐，释数未备，尚不能无俟于后之君子。”
《洪范皇极》这一系统的书，明代熊宗立有《洪范九畴数解》，李经纶有《洪范皇极注》，清初有刘世衢《洪范皇极补》，潘士权《洪范补注》，等等。
《四库全书总目提要》的编者对这些《洪范皇极》的衍生物的评论是：“推演《洪范》，始自蔡沈，故凡因沈书而作者并类从编次。”又说：“然蔡沈书亦何必补也”（卷一一〇《范衍》条） 。又说：“自沈以后，又开演《范》之一派，支离 ，踵而为之者颇多。既有其末，不可不著其本。故录而存之，而别著录于术数类，明非说经之正轨，儒者之本务也”（同上卷一〇八《洪范皇极内篇》条） 。
《四库全书总目提要》的评论表明了维护“正统”排斥“别传”的态度。在他们看来，蔡沈这书与正统的《书集传》不同，只是历法一类术数之作而已。
我们以为，这是中国学术的一个支流，也是反映社会现象的一种意识形态。从《易经》开始，有《太玄》《洞林》《洞极》《元包》《潜虚》，直到《洪范数》以及增补《洪范数》等各种著作，其间有一系列的继承关系。如今天有学者综合会通，除研究其排算方法加以明确外，并分析其实质内容，这对中国中古社会思想的演变、文化的发展将从一个侧面得到更多的认识。
《洪范皇极》一书，在蔡沈以后，有不少增补已如上述。但书中的《内篇》是蔡沈的手笔。对此应做一些分析。
《洪范皇极·内篇》的宇宙观与北宋理学家是一致的。蔡沈说：
冲漠无朕，万物具矣。动静无端，后则先矣。器根于道，道着器矣。一实万分，万复一矣。（《洪范皇极·内篇上》）
“冲”是虚的意思，“漠”也有空的含义。“无朕”指没有征兆。在“冲漠无朕”的时候，万物的理已经存在。这就是程颐所说的“冲漠无朕，万象森然已具”（《遗书》卷第十五） 。“动静无端”，也是程颐的原话。程颐在解释《易·系辞》的“形而上者谓之道”说：
道无有形体，道者一阴一阳也。动静无端，阴阳无始，非知道者，孰能识之。（《伊川经说》卷一《易说·系辞》）
这里指一阴一阳循环往复没有起始，也没有终止。
“器根于道”，换句话说，就是器根于理。这也是从程颐的“有理则有气”（同上） 来的。“一实万分，万复一矣”也是二程的理论。程颐说：“万物皆是一理，至如一物一事虽小，皆有是理”（《遗书》卷第十五） 。朱熹在《中庸章句》的篇首记载程颢的话说：“其书（指《中庸》）始言一理，中散为万事，末复合为一理”（朱熹《中庸章句》篇首按语） 。
至于“一实万分”四个字，原见于周惇颐《易通》中的《理性命第二十二章》。周说：“二气五行，化生万物。五殊二实，二本则一。是万为一，一实万分。”
总而言之，蔡书关于宇宙观的主要论点是：在“冲漠无朕”时已有万物之理。理是气或器的根本。万事万物都各有其理，但总的理是一个。这些都是理学家的基本原理，而通过朱熹、蔡元定的师承与家学，蔡沈全部接受了下来，上面所引《内篇》的一段话几等于二程语言的复述。
在上引《洪范皇极·内篇》一段后，蔡沈接着说了他的宇宙起源论：“有理斯有气，有气斯有形，形生气化而生生之理无穷焉。天地 缊，万物化醇，男女构精，万物化生。化生者塞，化醇者赜。覆土之陵，积水之泽，草木虫鱼，孰形孰色。无极之真，二五之精，妙合而凝，化化生生，莫测其神，莫知其能”（《洪范皇极·内篇上》） 。其中理→气→形的变化过程是程朱理学本体论的精髓，也就是上文所引的“气根于道”。“天地 缊”以下四句出于《易·系辞下》，原意是阴阳产生万物的意思。周惇颐《太极图·易说》中有“二气交感，化生万物，万物生生而变化无穷焉”的话，便是它的注脚。
这里特别要注意的是，在阴阳之先，怎样被理学家加上了一个精神的本体。
《太极图·易说》中说：“太极动而生阳，动极而静，静而生阴。”朱熹在讨论《太极图说》与学生问答时说：“太极只是一个理字”（《朱子语类》卷一） ，又说：“太极只是一个实理”（同上卷九十四） 。此外，类似的表达不一而足。“二五之精”指二气五行，那都是太极或理所派生的。
蔡沈的这一理论，承接周、程之说，然后把它们综合在一起归纳出的一个自然发展观。我们前面评论了周、程的分歧，而二程是从来不讲太极的。这一段里蔡沈把周的太极、程的理巧妙地结合了起来，无疑是出色地继承了朱熹的学术倾向。
朱熹的体系中不但包括了周、程，还包括了张载，这些因素在蔡沈的《内篇》中也可以找出来。蔡沈说：“变者化之渐，化者变之成，变化者阴阳之消长曲伸也。非二则不能久，非一则不能神”（《洪范皇极·内篇上》刘世衢本卷一） 。这段全本于张载的《正蒙》。张载说：“气有阴阳，推行有渐为化，合一不测为神”（《正蒙·神化篇》） 。又说：“一故神（自注：两在故不测），两故化（自注：推行于一）”（《正蒙·参两篇》） 。朱熹对此极为赞同：“神化二字虽程子说得亦不甚分明，惟是横渠推出来”（《朱子语类》卷九十八） 。辩证法认为，事物的发展变化根源于事物内部矛盾双方的对立与统一。而张载的理论接触到这一点，应该说含有朴素辩证法的因素。
这观点为朱熹所接受，而由蔡沈在其著作中进一步表述出来，使研究者可以从中探索其间的渊源线索。
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[1] 邵伯子即邵伯温，邵雍长子，曾注释《皇极经世书》。