十九世纪引以为自豪的是汽力的发明及进化论的创立，但它获得其名声的一种更合法的权力也许来自纯数学的发现。像绝大多数其他科学一样，这门科学在诞生之前就经受了洗礼；而且我们因而发现，十九世纪之前的作者间接提到了他们所谓的纯数学。但是，假如问他们这门学科是什么，他们只能说它是由算术、代数及几何等等构成的。至于这些分支学科所共同拥有的东西，以及它们同应用数学的区别，我们的祖先一无所知。
纯数学是由布尔在一部被他称为《思维法则》（1854）的著作中所展示的。这部著作处处断言它不是数学；而事实上，布尔太谦虚了，以至于不能认为他的书是人类曾经写下的第一部数学书。他也错误地认为他在处理思维法则：人们实际上是如何思考的这个问题与他完全无关，而且假如他的书真的包含思维法则，那么以前未曾有人以这样的方式思考就是一件奇怪的事。他的书事实上说的是形式逻辑，而这就是数学。
纯数学完全是由一些断言组成的。这些断言的大意是，假如如此这般的一个命题对于任一事物为真，那么如此这般的另一个命题对于那个事物也为真。不必讨论第一个命题是否确实为真，也不必提及我们假定对于其为真的那个事物是什么。这两个关键点都属于应用数学。在纯数学中，我们是从某些推论规则出发的；通过这些规则，我们就能推断，假如一个命题为真，那么就有另外某个命题也为真。这些推论规则构成形式逻辑原理的主要部分。那么，我们以任意一个看似有趣的假设为例，并推导一下它的结果。如果我们的假设是关于任一事物的，而非关于一个或多个其他特殊事物的，那么我们的推论就构成了数学。因而，数学可以被定义为我们绝不知道我们在其中谈论什么且亦不知道所谈之物是否为真的科目。我希望，已对数学开端感到困惑的人将在这个定义中找到安慰，并可能同意这个定义是准确的。
由于现代数学的主要成就之一就在于发现了数学实际上是什么，在这个问题上多说几句也许不是不合适的。通常，在任何一个数学分支（比如几何学）中，我们都是从一定数量的原始概念及一定数量的原始命题或公理开始的；原始概念被假定是不可定义的，而原始命题或公理被假定是不可证明的。现在，实际情况是，尽管在应用数学的每一个分支中都有一些不可定义和不可证明的东西，但在纯数学中，除了属于普通逻辑的那些以外，是不存在这样的东西的。一般说来，逻辑的特点就在于，它的命题能被放入一种形式的东西中，而且在那种形式中，这些命题适用于任意一个事物。一切纯数学——算术、分析及几何——都是通过原始逻辑概念的组合而建立起来的，而它们的命题是从诸如三段论及其他推论规则这样的一般逻辑公理中推论出来的。而且，这不再是一种梦想或者一种渴望。恰恰相反，在数学领域较大而又较困难的那一部分，此项工作已经完成了；在余下的几个问题上，并不存在任何特殊的困难，而且人们现在正快速地从事着这项工作。关于这样的推论是否可能，哲学家们已争论了许多世纪，而数学家们则坐了下来，并做出了推论。现在，对于哲学家来说，除了体面地承认此种推论，并无剩下的事情可做。
因而，形式逻辑最终表明自己就是数学。众所周知，这门学科是由亚里士多德所创立的，并成了中世纪的首要学科（除了神学以外）。但是，亚里士多德绝未超出三段论，并且经院学者们绝未超出亚里士多德；而三段论只是形式逻辑的一个很小的部分。如果需要某种证据来证明我们超出了中世纪的神学家，那么我们就可以在这里找到。在整个中世纪，几乎所有最优秀的英才人物都献身于形式逻辑，而在十九世纪，世界思想中仅有极微小的一部分涉入了这门学科。不过，自1850年以来，人们在每一个十年期间为发展这门学科而做的事情，都比从亚里士多德到莱布尼茨的整个这段时间内所做的事情多。人们已经发现如何使推理像在代数中那样符号化，以便使推论通过数学规则而得以完成。除了三段论以外，人们还发现许多规则；而且一个被称为相干逻辑注25的新的逻辑学分支已经创立了，并被用来处理旧逻辑所完全无能为力的一些问题，尽管那些问题构成了数学的主要内容。
在讨论数学基础时让外行的头脑认识到符号体系的重要性是不容易的，而且所作的解释也许会以一种异乎寻常的方式显现为一种似非而是的东西。实际情况是，因为符号体系使事情变得复杂艰涩了，所以它是有用的。（就数学的高级部分而言，这种情况并不存在；它只是就数学的开端部分而言的。）我们希望知道的是，我们能从什么推论出什么。现在，在开端处，一切都是不证自明的；而且很难看出一个不证自明的命题是否是从另外一个命题推论出来的。显而易见的东西总是与正确的东西为敌。因此，我们发明了某种新的复杂艰涩的符号体系；在这个体系中，任何东西都不是显而易见的。然后，我们针对符号制定一些运算规则，从而整个事情就成为一种机械性的东西了。通过这种方式，我们就发现什么东西必须被当作前提，以及什么东西能被证明或定义。例如，我们已表明，整个算术及代数需要三个不可定义的概念及五个不可证明的命题；但是，如果没有一个符号体系，我们就很难看出这一点。二加二等于四是非常显而易见的，以至于我们几乎不能让自己充分怀疑它能否被证明；在别的例子中，假如有一些不证自明的东西需要证明的话，情况也是如此。
但是，对于不了解情况的人来说，证明不证自明的命题可能多少是一件无意义的工作。对此，我们可以答复说，这样的情况，即一个显而易见的命题是从另一个显而易见的命题中推论出来的，经常绝不是不证自明的；因此，当我们通过一种不明显的方法证明明显的东西时，我们确实是在揭示一些新的真理。但是，一种更有趣的答复是，由于人们既已设法证明显而易见的命题，所以他们就发现许多这样的命题是错误的。不证自明时常只是一堆鬼火；如果让它作为我们的向导，它一定会让我们迷路。例如，一个整体总是比其一个部分拥有更多的项，或者，一个数加上一之后就会变大，这些都再明显不过了。但我们现在知道，这些命题通常是错误的。绝大多数的数是无穷的，而且假如一个数是无穷的，那么只要你愿意，你可以为之加上诸多的一，却又丝毫不会对它产生影响。证明的优点之一就在于它向被证明的结果注入了某种怀疑，而且当显而易见的东西可以在一些情况下得到证明而在另外一些情况下又无法得到证明时，设想它在另外那些情况下是错误的就成为可能了。
在当代人中，伟大的形式推理技艺大师是一位意大利人，即都灵大学的皮亚诺（Peano）教授注26。他已把大部分的数学还原成了严格的符号形式，而且在这个形式中根本不出现语词；另外，他和他的追随者还将及时把整个数学还原出来。相比于绝大多数读者的期待，通常的数学书中的文字无疑是很少的；而且，极少有像“因此”、“让我们假定”、“考虑”或“由此得出”这样的短语出现。然而，所有这些都是一种让步，并且它们都已被皮亚诺教授一扫而光。例如，假如我们希望学习整个算术、代数、微积分以及事实上通常被称作纯数学的所有东西（除了几何学），我们必须从一部包含三个词的词典开始。一个符号代表零，另一个代表数，再一个代表后继。假如你希望成为一名算术家，那么你就有必要知道这些概念的意义是什么。但是，在为三个概念创立了各种符号之后，在算术的整个发展过程中我们所需要的并不是另一个词。所有后来的符号都是用先前的符号以及这三个概念加以解释的。甚至连这三个概念也可以用关系和类的概念加以解释；但是，这需要关系逻辑，而皮亚诺对此绝未论及。必须承认，数学家所须知道且由之出发的东西是不多的。所有纯数学（包括几何学）的所有概念都由之复合而成的概念至多有十来个。在一派才华非常出众的年轻的意大利追随者的帮助下，皮亚诺教授已经表明这一点是如何能做得到的；而且，对于他已经发明的这种方法，尽管我们有能力在很大程度上推进得比他更深入，但先驱者的荣誉一定属于他。
两百年以前，莱布尼茨就预见了皮亚诺所完成的这门科学，并尝试着去创立它。因为尊重亚里士多德的权威，他未能取得成功；他不能相信亚里士多德犯有明确的形式上的谬误。但是，不顾一切有优越感的人在对待其方案时所表现出的那种居高临下式的轻蔑态度，他希望创立的这门学科现在诞生了。从他所称的这种“普遍文字”中，他希望找到关于所有问题的一个解决方案，并为所有争论找到一个结果。他说：“假如争论出现了，在两个哲学家之间，就如在两个会计之间一样，没有必要争论。对他们来说，带着手中的笔，坐到桌旁，并相互向对方说‘我们来计算一下吧’（如果他们愿意，还可以请一个朋友作为见证人），这就足够了。”这种乐观现在看起来多少有点过分了：依然有一些问题，关于它们的解决方案是可疑的，而且依然有一些争论是计算所无法解决的。但是，在由先前有争议的东西所构成的整个一大片领域中，莱布尼茨的梦想已变成并不夸张的事实。过去，整个数学哲学至少像哲学的任何其他部分一样充满怀疑；而现在，在这个领域中，顺序和确定性已取代先前盛行的混乱和犹豫。当然，哲学家尚未发现这个事实，并继续按先前的方式就这些问题进行写作。但至少在意大利，数学家们现在有能力以一种精确的、熟练的方式处理数学，而且通过这种方式，数学的确定性也延伸到了数学哲学。因此，在过去被列入重大的谜的问题中，有许多现在已绝不再容易招致怀疑或引起讨论了，例如无穷的性质，连续的性质和空间、时间与运动的性质就是这样。那些希望知道这些东西的性质的人只需阅读像皮亚诺或格奥尔格·康托尔这样的一些人的著作，他们将在那里发现关于所有这些一度曾是谜的东西的准确而又不可怀疑的解释。
在这个变幻莫测的世界中，再没有什么比身后的名声更变幻莫测了。后世对其缺乏判断的最著名的例子之一，就是埃利亚的芝诺。我们可以把这个人看作无穷哲学的创始人；在柏拉图的《巴门尼德斯篇》中，他相对苏格拉底处于教育者这样的特权地位。他提出了四个论证，每一个都是无限精妙而又无限深刻的；这些论证旨在证明运动是不可能的，阿基里斯注27绝不可能追上乌龟，以及飞矢确实是静止的。在遭遇亚里士多德以及从那时起到今天的每一个后来的哲学家的反驳后，这些论证被一位德国教授恢复了。这位教授使这些论证成为一种数学复兴的基础，而他可能做梦也没有想到自己和芝诺之间会有某种联系。通过严格从数学中排除对无穷小量（infinitesimals）注28的使用，魏尔施特拉斯注29（Weierstrass）最终表明，我们生活在一个不变化的世界中，而且飞矢真的处于静止中。芝诺的唯一错误就在于他作出了如下的推断（假如他确实这样做了）：因为不存在像变化的状态这样的事物，所以世界在任一时刻的状态都与其在任一其他时刻的状态相同。这绝不是一个推论的结果，而且在这方面，德国数学家比善于创造的希腊人更具建设性。魏尔施特拉斯把自己的观点体现于数学中，而在这门科学中，熟悉真理即可消除常识的粗俗偏见。通过这样的做法，他已能够为芝诺悖论赋予平凡言谈的体面外表；假如这个结果对于热爱理性的人来说不如芝诺的大胆挑战令人愉快，那么它至少更适合于抚慰学究式的人类。
事实上，芝诺关心三个问题。在这三个问题中，每一个都是通过运动而呈现出来的，但每一个都比运动更抽象，而且能以纯算术的方式加以处理。这三个问题分别是无穷小量问题、无穷问题及连续性问题。清晰地陈述所涉及的困难，就相当于完成了哲学家的任务中兴许最为困难的那个部分。这项工作是由芝诺完成的。从芝诺到我们自己的时代，每一代中最优秀的才智非凡者轮番攻击这些问题，但一般说来却毫无所获。然而，在我们自己的时代，魏尔施特拉斯、戴德金及康托尔三人不仅改进了这三个问题，而且完全解决了它们。对于那些熟悉数学的人，这些解决方案非常清晰，以至于不再会有丝毫的疑点或难点。这项成就很可能是我们这个时代必须引以为自豪的最伟大成就，而且我不知道还有哪个时代（也许除了希腊黄金时期）能更加令人信服地证明自己贡献了其伟大人物的卓越才智。在这三个问题中，无穷小量问题是由魏尔施特拉斯解决的，其他两个问题是由戴德金着手解决并由康托尔最终完成的。
无穷小量先前在数学中起到了一种重要的作用。它是由希腊人引进的；希腊人认为，一个圆与一个具有许许多多个边且边长很小的等边多边形之间的差别是无穷小的。它的重要性在逐渐增长；最终，当莱布尼茨发明微积分时，它似乎成了所有高等数学的基本概念。在其《腓特烈大帝史》中，卡莱尔向人们透露莱布尼茨以前常常是如何向普鲁士女王索菲娅·夏洛特讲述无穷小问题的，以及女王又会如何回敬他说她在那个问题上是不需要接受教育的——文武百官的行为已经使她完全熟悉了这个问题。但是，哲学家们和数学家们因为多半不太熟悉王宫生活，所以继续讨论这个话题，尽管没有取得任何进展。微积分需要连续性，而且人们假定连续性需要无穷小；但是没有人能够揭示无穷小可能是什么。它显然完全不是零，因为我们看到，数目足够多的无穷小量加起来就组成了一个有限的整体。但是，没有人能够指出任何既非零又非有穷数的极小的数。因而，这就出现了僵局。但最后，魏尔施特拉斯发现，无穷小量是根本不需要的，而且一切事情都可以在没有它的情况下得以实现。因而，无需再假定存在这样的一种东西。现在，数学家们因此比莱布尼茨更有尊严：他们不再谈论无穷小，而是谈论无穷大。不幸的是，无穷大这个题目，无论多么适合于君主，但对他们所产生的吸引力似乎甚至比不上无穷小对莱布尼茨为之讲述的君主们所曾产生的吸引力。
对无穷小量的排除产生了各种各样奇特的后果，一个人必须逐步熟悉这些后果。例如，不存在像下一时刻这样的事物。一个时刻与下一时刻之间的间隔必须是无穷小的，因为假如我们取彼此间具有一种有限间隔的两个时刻，那么在这个间隔内总会有其他一些时刻。因而，假如不存在无穷小量，那么没有哪两个时刻是完全连续的，而是在任何两个时刻之间总存在其他的时刻。因此，任何两个时刻之间都一定存在无穷多的时刻；因为假如真的只有有限多的时刻，一个人就会最接近于这两个时刻中的第一个，并因此紧邻它。这可以被认为是一种困难；但事实上，正是在这里，无穷哲学派上了用场，并使得一切都变得直截了当。
空间方面也发生了同样的情况。假如把任意一片物质一切为二，然后再把每一部分对半分，并一直这样分下去，那么切分所得到的碎片将变得越来越小，并且从理论上说，我们可以让这些碎片小到我们想要的地步。不管它们可以小到什么地步，我们还能对它们进行切分并使其变得更小。但是，不管它们可以小到什么地步，它们将总是拥有某种有限的大小。我们绝不能以这种方式达到无穷小量，而且任何有限次的切分都不会让我们达到点。不过，点是存在的，只是我们将不会通过连续的切分而达到这些点。在这里，无穷哲学又一次向我们表明这是如何可能的，以及点为什么不是无穷小的长度。
在运动和变化问题上，我们获得一些同样奇怪的结果。人们过去常常认为，当一个事物变化时，它一定处在一种变化的状态中，并且当一个事物移动时，它就处在一种运动的状态中。现在，我们知道这种看法是错误的。当一个物体移动时，我们最多能说，它在一个时间处于一个地方，而在另一个时间处于另一个地方。我们一定不要说，在下一个瞬间它将在附近的一个地方，因为不存在下一个瞬间。哲学家们常常告诉我们，当一个物体处于运动中时，它是在瞬间之内改变其位置的。对于这种观点，芝诺在很早以前就提出了这样的致命反驳，即每一个物体都总是在其所在的地方。但是，一种如此简明扼要的反驳并不是哲学家们通常看重的那种，而且直到我们今天这个时代，他们还在继续重复这些同样的激起这位爱利人破坏性热情的说法。只是在最近，我们才有可能根据芝诺从前的说法并以同哲学家的悖论相反的方式来详细地解释运动。我们现在终于可以任性地持有这种令人感到舒适的信念，即一个运动的物体在其所在的地方恰恰和一个静止的物体一样真实。运动仅仅在于以下这一事实：物体有时在一个地方，有时在另一个地方，而在中间的时间它们处于中间的地方。只有那些在这个问题上奋力穿过哲学思考泥潭的人，才能认识到这种简单而又明了的平常事实在何等程度上把我们从古老的偏见中解放了出来。
如我们刚才已看到的那样，无穷小量哲学主要是破坏性的。人们过去常常相信它，而现在他们已看出自己的错误。另一方面，无穷哲学完全是建设性的。人们以前假定，无穷数以及通常的数学的无穷是自相矛盾的。但是，由于明显存在诸多无穷，例如数的数目，关于无穷的矛盾似乎就不可避免了，而且哲学似乎已走进了一条“死胡同”。这个困难导致了康德的二律背反，而且因此或多或少间接导致了黑格尔辩证法中的许多东西。迄今为止，很少有几个哲学家意识到这样的事实，即在无穷概念问题上一切古老而又可敬的矛盾都已一劳永逸地解决了；而几乎所有当前的哲学都因为这个事实而感到不安。造成这个事实的方法是极有趣且极富启发性的。首先，尽管从希腊思想的开端直到今天人们都在无穷问题上夸夸其谈，但未曾有人想到过问什么是无穷。假如任请一个哲学家给出一个关于无穷的定义，那么他可能会说出某种无法理解的拉拉杂杂的东西，但他确实不能提供一个在任何情况下都有某种意义的定义。大约二十年以前，戴德金和康托尔就问过这个问题，而且更值得注意的是，他们回答了这个问题。也就是说，他们发现了一个完全精确的关于无穷数或由事物所构成的无穷集合的定义。这是第一步，也可能是最重要的一步。然后，还要考察这个概念中的想象出来的矛盾。在这里，康托尔以唯一的恰当的方式继续前进。他以几对相互矛盾的命题作为例子，这些命题对中的矛盾双方通常都被认为是可证明的；他严格考察了假想的证明。他发现，一切不利于无穷的证明都包含某个原理，而且这个原理乍一看显然是真的，但其产生的后果几乎可以毁灭一切数学。另一方面，有利于无穷的证明并不包含任何拥有有害后果的原理。因而看起来，常识已经允许自己被一种似是而非的基本原理欺骗，而且一旦这个基本原理被排除了，一切就都解决了。
这个基本原理是，假如一个集合是另一集合的一部分，那么前者所拥有的项比后者所拥有的项少。这个基本原理适用于有穷数。例如，英国人只是欧洲人中的一部分，而且英国人少于欧洲人。但是，当我们涉及无穷数时，这个基本原理就不再适用了。扫除了这条基本原理，我们就能获得关于无穷的精确定义。一个项的集合是无穷的，当它包含另外一些恰好与其拥有一样多的项的集合作为其部分时。假如你能够移除一个集合中的一些项，同时却又不会减少项的数量，那么该集合中存在无穷多个项。例如，偶数在数目上恰好与全体的数一样多，因为每一种数目都能增加一倍。若把奇数和偶数全都放在一行，且又单独把偶数放在下一行，我们就可以看到这一点——
1，2，3，4，5，直至无穷。
2，4，6，8，10，直至无穷。
显然，下一行和上一行恰好拥有同样多的数，因为对于上一行中的每一个数，下一行中都有一个与其对应。这种性质先前被认为是一种矛盾，而现在则被转换成了关于无穷的一种无害的定义；而且在上例中，它表明有穷数的数目是无穷的。
但是，缺乏特定知识的人可能会觉得好奇：处理一个数不完的数目是如何可能的呢？不可能一个接一个地数完所有的数并算出总数，因为不论我们可能数了多少个数，后面总是还有更多的数。事实上，数数（counting）是发现一个集合中有多少个项的一种非常普通而又初级的方式。而且，无论如何，数数向我们提供了数学家所说的序数，即我们的集合中的项的序数。也就是说，它按一定顺序或者说在一个序列中排列我们的项，而且其结果告诉我们什么类型的序列将从这种排列中产生。换言之，如果不先数某些事物而后再数其他事物，那么我们就不可能去数事物，所以数数总是与顺序有关。这一来，当只存在数目上有穷的项时，我们能按照我们想要的任何顺序数它们；但是，当存在一个无穷的数目时，类似于数数行为的东西将按照我们由之完成此种行为的方式而为我们提供一些完全不同的结果。因而，从一般可被称为数数的行为中产生的序数，不仅依赖于我们有多少个项，而且依赖于（项的数目在这里是无穷的）那些项的排列方式。
基本的无穷数不是序数，而是所谓的基数。我们不是通过按顺序排列好我们的项并去数它们而获得基数的；基数是通过一种不同的方法被获得的，这种方法首先告诉我们两个集合是否拥有相同数目的项，或者假如它们拥有不同数目的项，它会首先告诉我们哪一个拥有更大数目的项注30。它并不通过数数所采取的那种方式来告诉我们一个集合拥有多大数目的项；但是，假如我们把一个数定义为某某集合中的项的数目，那么这种方法将使我们能够发现另外某个可能被提到的集合是否拥有数目更多或更少的项。通过一个例子，我们就将表明这是如何做到的。假如存在某个国家，而且在这个国家中，由于一种或另一种原因而不可能进行人口普查，但大家都知道这个国家的每一个男人都有一个妻子，且每一个女人都有一个丈夫，那么（只要多配偶制不是一种国家制度）在不清点人数的情况下，我们就应该知道那个国家的男人恰好和女人一样多，或者说既不比女人多也不比女人少。这种方法可以普遍应用。假如存在某种关系，并且就像婚姻一样，这种关系把一个集合中的事物个个都与另一个集合中的一个事物联系起来，而且反过来也是这样，那么这两个集合就拥有数目相同的项。我们就是通过这样的方式去发现偶数与数具有相同数目的。每一个数都可以被加倍，每一个偶数都能被减半，而且每一个步骤都恰好给出一个与被加倍或被减半的那个数相对应的数。此外，通过这种方式，我们能够发现任意多个恰好拥有与有穷数一样多的项的集合。假如一个集合中的每一个项都能与一个数挂钩，并且所有有穷数在这种步骤中都被使用一次且只被使用一次，那么我们的集合一定恰好拥有与有穷数一样多的项。这就是通常的定义无穷集合的数的方式。
但是，一定不要设想所有无穷数都是相等的；恰恰相反，无穷数在数目上无限多于有穷数。在不同类型的序列中排列有穷数的方式要多于有穷数。空间中存在的点及时间中存在的瞬很可能都多于有穷数。小数和整数恰好一样多，尽管在任意两个整数之间都有无穷多的小数。但是，无理数比整数或小数多。空间中的点很可能恰好与无理数一样多，而且在一条一百万分之一英寸长的线上的点与整个无限空间中的点恰好是一样多的。在所有的无穷数中有一个最大的数，那就是各种各样的事物全都加在一起所得到的总数。显然，不可能有比这更大的数，因为假如每一个事物都已被选取，就没有剩下要加进来的东西了。康托尔以某种方式证明不存在最大的数，而且假如这个证明是有效的，那么关于无穷的矛盾就会以一种升华了的形式重新出现。但在这一点上，这位大师犯有一种非常精巧的推理错误；我希望在今后的某本书中对此作出解释注31。
我们现在能够理解为什么芝诺相信阿基里斯追不上乌龟以及为什么他事实上又能追上它了。我们将看到，所有不同意芝诺的人都没有权利不同意，因为他们全都接受了芝诺的结论由之导出的前提。论证过程是这样的：设阿基里斯和乌龟在同一时间沿着同一条路开始赛跑，而且允许给予乌龟一定的让步（这样才公平）。设阿基里斯以两倍于或十倍于或百倍于乌龟的速度前进。这样一来，他将永远追不着乌龟。因为在每一个时刻，乌龟都在某个地方，阿基里斯也都在某个地方；而且当比赛继续进行时，二者都不会在某个时刻两次出现于同一个地方。因而，乌龟要去的地方和阿基里斯要去的地方正好是同样多的，因为每个都将在一个时刻处于一个地方，而在任何别的时刻处于另一个地方。但是，假如阿基里斯真的要赶上乌龟，那么乌龟所到过的地方将会仅仅是阿基里斯所到过的地方的一部分。这里，我们必须假定芝诺诉诸这个基本原理，即整体比部分拥有更多的项注32。因而，假如阿基里斯要追上乌龟，他就会比乌龟到过更多的地方；但是我们看到，在任何时间段中，他所在的地方一定和乌龟所在的地方一样多。因此我们推断，他绝不能赶上乌龟。假如我们承认整体比部分拥有更多的项这个基本原理，那么这个论证就是完全正确的。由于结论是荒唐的，这个基本原理必须抛弃，而且抛弃之后，一切就迎刃而解了。但是，人们对过去两千年来的哲学家及另外一些哲学家没有好评，因为他们全都承认这个基本原理却又否认芝诺的结论。
保留这个基本原理会导致绝对的矛盾，而排除它只会导致一些奇特的东西。必须承认，在这些奇特的东西中，有一些是非常奇特的。其中之一便是阿基里斯悖论的逆命题，我称之为特里斯特拉姆·项狄悖论注33。这个悖论表明，假如你给乌龟时间，它将恰好能和阿基里斯走得一样远。我们知道，特里斯特拉姆·项狄使用了两年时间来记载他生命中头两天的事情，并悲叹道，照这样的速度来记载，材料累积的速度会比他处理材料的速度更快，以至于随着春秋更替，自己会越来越远离其历史的终点。现在我认为，假如他永远活着，并且不对其任务感到厌烦，那么，即使其生命在延续过程中就像开始时那样充满故事，他的生命经历中也没有哪一段不会被记录。因为，请想一下：第一百天将在第一百年被描述，第一千天将在第一千年被描述，如此等等。不管我们选择哪一个更遥远以至于他无法希望达到的日子，所选的那一天都将在相应的那一年被描述。因而，任何可以被提到的日子都将或迟或早被记录下来，而且因此生命经历中的任何一段都不会永久不被记录。这个悖理但又完全真实的命题，依赖于这一事实即所有时间中的日子的数目不大于年份的数目。
因而，在无穷问题上要避免一些初看上去似乎悖理的结论是不可能的，而且这也说明了为什么如此多的哲学家设想无穷本身有其固有的矛盾。但是，少许的实践就能使一个人领会康托尔学说的真实原理，并在辨认真假的问题上获得新的更好的直觉。这些奇特的现象于是并不比生活在地球对面并与我们脚对脚的人更奇特；那些人过去常常被认为是不可能存在的，因为人们发现头脚倒立是非常不方便的。
与无穷相关的问题的解决方法使得康托尔也能解决连续性问题。关于这个问题，就像关于无穷问题一样，他已给出了一个完全精确的定义，并已表明，在以他的方式去定义的这个概念中不存在矛盾。但是，这个问题很具技术性，因此在这里不可能对其作出任何描述。
无穷概念依赖于顺序概念，因为连续性只是一种特殊类型的顺序。在现代，数学已使顺序获得了越来越重要的声望。从前，人们认为量是数学的基本概念，而且一些哲学家目前还是倾向于这样认为。但现在，除了从几何学这样的一个小角落来看，量已经完全被清除了，而顺序却日益取得主宰的地位。对不同种类的序列及其关系的研究现在是数学的一个很大部分，而且人们已发现，这种研究可以在根本不提及量的情况下进行，也多半还可以在根本不提及数的情况下进行。各种类型的序列都能从形式上加以定义，而且它们的性质能凭借关系代数从符号逻辑的原理中推演出来。极限概念是大部分的高等数学中的基本概念；过去，人们常常通过量把它定义为某个序列的项可以任意逼近的一个项。但现在，极限是以完全不同的方式被定义的，而且它所限定的序列可能根本不逼近它。这种改进也应归功于康托尔，而且正是这种改进使数学领域发生了革命性变化。现在，唯有顺序对极限有重要关系。因而，比如说，无穷整数中最小的那个就是有穷整数的极限，尽管一切有穷整数都离它无限远。对不同类型的序列的研究是一个普通科目，而序数（即上面提及的序数）研究是其一个特殊且非常有趣的分支。但是，这门科目的不可避免的技术性，使得我们不可能向专业数学家以外的任何人解释它。
近来，几何学，像算术一样，已被划入一般的顺序研究。人们先前设想，几何学是研究我们居住于其中的空间的性质的；并且那些认为存在之物只能从经验上被得知的人，因而主张几何学确实应被看作应用数学的一部分。但是，由于非欧几里得体系的壮大，几何学似乎已渐渐不能阐明空间的性质，而这正像算术不能讲清楚美国的人口一样。几何学是由诸演绎科学所构成的一个整体的集合，而且那些科学是以由若干组公理所构成的一个相应的集合为基础的。其中一组公理就是欧几里得公理，其他各组同样令人满意的公理导致另外一些结果。至于欧几里得公理是否为真，纯数学是不关心的；此外，这是一个从理论上讲不可能有把握地加以肯定回答的问题。通过非常仔细的测量，欧几里得公理也许会被表明是错误的；但是，由于观察的错误，任何测量都从未能使我们确信它们是完全正确的。因而，几何学家竭力让科学家去判定什么样的公理在现实世界中是最接近真实的。几何学家任意选取一组看起来有趣的公理，并推导它们的结果。在这种意义上，几何学的标志就在于这些公理一定会产生一个多维序列。而且正因此，几何学成了顺序研究的一部分。
在几何学中，就像在数学的其他分支中一样，皮亚诺及其追随者们在原理问题上已做了最有价值的工作。从前，哲学家们和数学家们都一样认为，几何学中的证明依赖于图形；现在，大家知道这是错误的。在最好的书中根本不出现图形。推理是从最初制定出来的一组公理出发并根据严格的形式逻辑规则而展开的。假如使用图形，各种各样的东西似乎显而易见地都会随之而来；而任何形式推理都不能从明确的公理中显示它们，并且事实上，只是因为它们是显而易见的，所以人们才接受它们。因为清除了图形，发现我们所需要的一切公理就成为可能了；而且，所有可能性都将通过这种方式被揭示出来，而若使用其他方式，它们依然不能被发现。
从正确的角度看，通过在需要的时候引进点，而不是像以前那样在开始的时候就假定整个空间，我们已取得一次重要的进展。这种方法应部分地归功于皮亚诺，部分地归功于名叫法诺注34的另一位意大利人。对于那些不习惯这种方法的人来说，它带有一种多少有点故作的学究式的外表。我们使用这种方法从下述公理开始：（1）存在一个由可被称为点的实体所构成的类。（2）至少存在一个点。（3）假如a是一个点，那么除a之外至少还存在另一个点。于是，我们引入连接两个点的直线并再一次开始，而这次的出发点是（4），也就是说，在连接a和b的直线上除了a和b之外至少还存在一个点。（5）至少存在一个不在ab线上的点。而且我们以这种方式继续下去，直到我们拥有获得所需要的那么多的点的方法。但是，正如皮亚诺所幽默地指出的那样，几何学根本不喜欢空间这个词。
现代几何学家所使用的严格的方法，已经把欧几里得从正确的顶峰上放了下去。直到最近人们还认为，正如亨利·萨维尔爵士注35于1621年所说的那样，欧几里得身上只有两个瑕疵，即平行论和比例论。现在我们知道，这两种理论几乎是欧几里得仅剩的没有瑕疵的地方。他的前八个命题中包含着数不尽的错误。换句话说，不仅我们可以怀疑他的公理是否是真的——相对而言这倒是小事——而且我们确信他的命题并不是从他所阐明的公理推论出来的。为了证明他的那些命题，我们还需要数量上比以前多得多的公理，而那些公理都是他在无意识地使用的。甚至在其所有命题的第一个命题中，他还使用了两个被假定会相交的圆；在那里，他在特定的基础上构造了一个等边三角形。但是，任何明确的公理都不会使我们确信它们会相交，而且在某些类型的空间中，它们并不总是相交的。我们的空间是否属于这些类型的空间中的一种，这完全难说。因而，恰恰是在这第一个命题中，欧几里得就完全未能证明他的论点。由于他确实不是一个容易读懂的作者，而且其表述冗长啰嗦得令人恐惧，他现在对我们只有一种历史的吸引力。在这些情况下，若仍要把他教给英国的孩子，那完全是一件丢脸的事注36。一本书应该要么清晰易懂，要么正确无误；把二者结合起来是不可能的，但若两者都不具备，那就不配享有欧几里得在教育中已经拥有的那样一种地位。
在数学领域，现代方法的最显著的结果在于其显示了符号逻辑及严格的形式体系的重要性。在魏尔施特拉斯的影响下，现代数学家们已流露出对精确性的一种关心，以及对不严谨的推理的一种厌恶；而先前自希腊时代以来，数学家们一直没有表现出这样的关心与厌恶。十七世纪的重大发明，即分析几何和微积分，结出了大量的新的果实，以至于数学家们既无时间也无兴趣去考察其基础。哲学家们本应承担起这项任务，但他们的数学能力太弱了，所以不能创立现在已被发现是任何充分的讨论所必需的新的数学分支。因而，只是当魏尔施特拉斯及其追随者们表明数学家们所珍爱的绝大多数命题中有许多通常是错误的时，数学家们才从其“独断论的迷梦”中醒了过来。麦考利（Macaulay）把数学的确定性与哲学的不确定性进行了对比，并且他问道：谁曾听说过有人反对泰勒（Taylor）定理？！假如他活到现在，他自己也许会听到这样的一种反对，因为这完全是已为现代研究所推翻了的定理。对数学信念的一种如此猛烈的冲击，已经导致了那种对形式体系的热爱；而对于那些不了解此种热爱的动机的人，它似乎只是一种令人厌恶的学究气。
包括几何学在内的所有纯数学都只是形式逻辑，这一证据对康德哲学而言是致命的一击。康德正确地认识到，在不借助于图形的情况下，欧几里得的命题无法从他的公理中演绎出来；于是，他创立一种认识论来解释这一事实。而且，康德的解释非常成功，以至于当该事实被表明只不过是欧几里得身上的缺点而非几何推理的性质所带来的结果时，康德的理论也必须被放弃。总体说来，他用以解释纯数学之可能性的整个先天直观形式学说，都不能以其当前的形式应用于数学。经院学者们眼中的亚里士多德学说，在精神上更接近于现代数学所激发的各种学说；但是，经院学者们受到了以下这一事实的影响：他们的形式逻辑是很有缺陷的，并且建立在三段论基础上的哲学逻辑显示了一种相应的狭隘性。现在所需要的，是尽最大可能发展数理逻辑，充分承认关系的重要性，并在此可靠基础上建立一种新的哲学逻辑；而此种哲学逻辑可以期待着借鉴其数学基础的某些精确性与确定性。假如我们能够成功地做到这一点，那么我们就有一切理由作出这样的期待，即不久的将来在纯哲学方面将是一个与刚刚过去的数学原理时代一样伟大的时代。伟大的成就唤起伟大的希望，而且在我们这一代，纯思想在这方面可以取得将让我们的时代与希腊的最伟大时期相比肩的结果注37。